牛顿-柯特斯公式

在数值分析上，梯形法则和辛普森法则均是数值积分的方法。它们都是计算定积分的。

这两种方法都属于牛顿-柯特斯公式。它们以函数于等距${\displaystyle n+1}$点的值，取得一个${\displaystyle n}$次的多项式来近似原来的函数，再行求积。

梯形法则

原函数（蓝色）近似为红色的线性函数

多重梯形法则

主条目：梯形公式

梯形法则是：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

这等同将被积函数近似为直线函数，被积的部分近似为梯形。

要求得较准确的数值，可以将要求积的区间分成多个小区间，再个别估计，即：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right).}$

可改写成

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots +2f(x_{n-1})+f(x_{n})\right)}$

其中

对${\displaystyle k=0,1,\dots ,n}$，${\displaystyle x_{k}=a+k{\frac {b-a}{n}},}$。

辛普森法则

主条目：辛普森积分法

辛普森法则（Simpson's rule，又称森逊法则）是：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$

同样地，辛普森法则也有多重的版本：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\cdot \left[f(x_{0})+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})+4\sum _{k=1}^{n}f\left({\frac {x_{k-1}+x_{k}}{2}}\right)+f(x_{n})\right]}$

${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}},\ x_{k}=a+k\cdot h.}$

或写成

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}}$

牛顿-柯特斯公式

牛顿-柯特斯公式（Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula）以Roger Cotes和艾萨克·牛顿命名。其内容是：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})}$

其中对${\displaystyle k=0,1,\dots ,n}$，${\displaystyle w_{i}}$是常数（由${\displaystyle n}$的值决定），${\displaystyle x_{k}=a+k{\frac {b-a}{n}}}$。

梯形法则和辛普森法则便是${\displaystyle n=1,2}$的情况。

亦有不采用在边界点来估计的版本，即取 ${\displaystyle x_{k}=a+k{\frac {b-a}{n+1}}}$ 。

原理

• 假设已知${\displaystyle f(x_{0}),f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})}$的值。
• 以${\displaystyle n+1}$点进行插值，求得对应${\displaystyle f(x)}$的拉格朗日多项式。
• 对该${\displaystyle n}$次的多项式求积。

该积分便可以作为${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$的近似，而由于该拉格朗日多项式的系数都是常数（由${\displaystyle n}$决定其值），所以积函数的系数（即${\displaystyle w_{i}}$）都是常数。

缺点

对于次数较高的多项式而有很大误差（龙格现象），不如高斯积分法。

例子

下表中${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$，${\displaystyle \xi \in [a,b]}$，${\displaystyle h=b-a}$

精度	名称	公式	误差
1	梯形法则	${\displaystyle {\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})}$	${\displaystyle -{\frac {2h^{3}}{3}}\,f^{(2)}(\xi )}$
2	辛普森法则	${\displaystyle {\frac {h}{6}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}$	${\displaystyle -{\frac {h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )}$
3	辛普森3/8法则 辛普森第二法则	${\displaystyle {\frac {h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}$	${\displaystyle -{\frac {3h^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )}$
4	保尔法则 （Boole's rule ／ Bode's rule）	${\displaystyle {\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}$	${\displaystyle -{\frac {8h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )}$
不用界点的
0	中点法	${\displaystyle 2hf_{1}\,}$	${\displaystyle {\frac {h^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )}$
1		${\displaystyle {\frac {3h}{2}}(f_{1}+f_{2})}$	${\displaystyle {\frac {h^{3}}{4}}\,f^{(2)}(\xi )}$
2		${\displaystyle {\frac {4h}{3}}(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})}$	${\displaystyle {\frac {28h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )}$
3		${\displaystyle {\frac {5h}{24}}(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})}$	${\displaystyle {\frac {95h^{5}}{144}}f^{(4)}(\xi )}$

参考

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

外部链接

• 黄 Sir 的计算机网页: Numerical Integration : Trapezoidal Rule and Simpson's Rule （页面存档备份，存于互联网档案馆）