根值审敛法(Root test)是判别正项级数敛散性的一种方法,又叫做柯西判别法。方法是分析第
项的绝对值的
次方根的上极限与1的大小关系。
Quick Facts 无穷级数, 审敛法 ...
无穷级数
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![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d3b3177dde333e5442a7d132a37b31b00f4856)
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无穷级数
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根值审敛法判断流程表
设
是要判断审敛性的级数,令
![{\displaystyle C={\overline {\lim _{n\rightarrow \infty }}}{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{\left\vert a_{n}\right\vert }},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3731c168b93b899d7b5c0e701d51be7252d3168)
- 当
时级数绝对收敛(当然同时也收敛)
- 当
或
时级数发散
- 当
时级数可能收敛也可能发散[1]。
More information 当
...
证明:
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- 当
时,取 ,由上极限的定义, 应当有收敛于 的子列 ,由极限的保序性, ,使 时, (否则,总可以取出极限不比 小的子列,和 的定义矛盾)。因而, 时,有 ,又因为 是收敛的,由比较审敛法, 收敛,即 绝对收敛。
- 当
或 时,取子列 ,从而 ,使得 时, 。这意味着 ,根据通项极限判别法,级数 是发散的。
- 例:
,但 发散,而 。
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