柯西判别法

柯西判别法是判断一个实级数或数列收敛的方法。

无穷级数
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
无穷级数
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查 论 编

级数${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$收敛，当且仅当对于实数${\displaystyle \epsilon >0}$，存在正整数${\displaystyle N}$使得对于任何${\displaystyle n>N}$及${\displaystyle p\geq 1}$，${\displaystyle |\sum _{i=n+1}^{n+p}a_{i}|<\epsilon }$。^[1]

另一个说法是： 数列${\displaystyle A_{i}}$收敛当且仅当对于任何实数${\displaystyle \epsilon >0}$，存在正整数N使得对于任何${\displaystyle i,j>N}$，${\displaystyle |A_{i}-A_{j}|<\epsilon }$。

参考

1. （英文）Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis, p.63. Springer, New York. ISBN 9781441928665