阻尼正弦波

阻尼正弦波（英语：damped sine wave）是振幅会随时间增长而趋向零的正弦波函数^[1]。

${\displaystyle y(t)=e^{-t}\cdot \cos(2\pi t)}$

当谐振子消耗的能量比供应的能量多，其波形即为阻尼正弦波，此函数常用在科学及工程中。

定义

许多振动的现象可以用正弦波来描述，若振动系统中有阻尼，其振幅会随着时间而减少。

真正的正弦波在时间为0时从原点开始（振幅为0），余弦波和正弦波有相位差，在原点时有最大值。在实务上的弦波可能具有正弦及余弦的份，因此“阻尼正弦波”也包括这些不同相位的弦波在有阻尼时的波形。

最常见的阻尼是指数衰减阻尼，其数个波峰形成的包络线为指数衰减的曲线，一般也常假设阻尼是指数衰减阻尼的形式。

方程

指数衰减的弦波其方程如下：

${\displaystyle y(t)=A\cdot e^{-\lambda t}\cdot (\cos(\omega t+\phi )+\sin(\omega t+\phi ))}$

其中

${\displaystyle y(t)}$为时间t的瞬时值

${\displaystyle A}$为包络线的初始值

${\displaystyle \lambda }$为递减常数，其单位是X轴时间的倒数

${\displaystyle \phi }$是特定点的相位角

${\displaystyle \omega }$是角频率

可以简化为

${\displaystyle y(t)=A\cdot e^{-\lambda t}\cdot (\cos(\omega t+\phi ))}$

其中：

${\displaystyle \phi }$为t = 0的相位角

其他重要的参数有：

周期${\displaystyle \tau }$，是单一循环需要的时间，单位为时间t，是频率的倒数，也就是${\displaystyle f^{-1}}$。

频率${\displaystyle f}$，是单位时间内的周期数，等于${\displaystyle \omega /(2\pi )}$，是周期的倒数，也就是${\displaystyle \tau ^{-1}}$，其单位是时间的倒数。

半衰期是振幅包络线减为原来一半需要的时间，等于${\displaystyle \ln(2)/\lambda }$，大约是${\displaystyle 0.693/\lambda }$。

阻尼比${\displaystyle \zeta }$，是有关其衰减速率相对于频率的无因次特征，近似于${\displaystyle \zeta =\lambda /\omega }$，精确值为${\displaystyle \zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}}<1}$。

品质因子${\displaystyle Q=1/(2\zeta )}$，是另一个描述阻尼的无因次特征，品质因子高表示阻尼相对于振荡的影响要小。

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参考资料

1. Douglas C. Giancoli (2000). [Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics (3rd Edition)]. Prentice Hall. ISBN 0-13-021517-1