同界角

在几何学中，同界角（英语：Coterminal angles）是指两个有向角（有标示起始边与终边的角）有着各自的角度量值（其量值可能相等），且共用同一对起始边与终边，即共享相同始边和终边的角度，但拥有不同的旋转量，就称为同界角^[1]。同界角拥有相同的三角函数值，因此三角函数具有周期性。每个角皆有无限多个同界角，其量值可以为负，但必须是一个实数。

45度的3个同界角

性质

正转和逆转都可以得到相同的角，但他们拥有不同的旋转量，图中为45度和─315度

每个同界角皆差360度，换句话说，每360度就会出现一个同界角^[2]。每个同界角两边的向量内积与外积皆有相同的值。此外，任何角都可以找到最小正同界角和最大负同界角。

同界角可以如下定义：

1. 若有两个角有相同的始边与终边，则两个角互为同界角
2. 若两角相差360度的整数倍则两个角互为同界角

同界角存在关系式：

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=360^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} }$

亦可写为：

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=2k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} }$

或：

${\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0}$

${\displaystyle \cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}=0}$

与三角函数关系

从三角函数的周期可以发现，每间隔${\displaystyle 2\pi }$就会找到相同高度的点，该点即为同界角的三角函数值。

从反三角函数图形得知反余弦必得到最小正同界角，而反正弦则有可能得到最小正同界角或最大负同界角

主条目：诱导公式

从三角函数的诱导公式可以得知同界角的存在，下表指出，任何三角函数，只要位移为${\displaystyle 2\pi }$，就会得到相同的函数值，因此${\displaystyle \theta }$与${\displaystyle \theta +2\pi }$互为同界角。

移位 ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	移位 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \tan }$ 和 ${\displaystyle \cot }$ 的周期	移位 ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \sin }$、${\displaystyle \cos }$、${\displaystyle \csc }$ 和 ${\displaystyle \sec }$ 的周期
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \end{aligned}}}$

另外，从简单的三角方程中，也可以找到同界角，例如：

考虑方程${\displaystyle \cos(\theta )=k\,,\,\theta }$有无限多组解，其中${\displaystyle \arccos(k)}$为一个解且为最小正同界角，其余解皆与${\displaystyle \arccos(k)}$或是-${\displaystyle \arccos(k)}$互为同界角。

但是有例外，如正切和余切，由于其周期不为360度，如正切函数的周期为180度（即${\displaystyle \pi }$），因此相同的函数值未必互为同界角。

最小正同界角与最大负同界角

角的量与最小正同界角（黄）与最大负同界角（蓝）的关系

同界角通常有无穷多个，因此在计算一些角度或三角函数抑或是一些周期函数的解时，会取最接近零的同界角。这类同界角又可以再分成最小正同界角与最大负同界角。其中，最小正同界角恒为正，通常解某些具周期性的方程的主值时，是使用最小正同界角。最小正同界角在0到${\displaystyle 2\pi }$（360度）之间的最小正同界角与原始角相同，当原始角为${\displaystyle 2\pi }$（360度）或${\displaystyle 2\pi }$（360度）的倍数时，最小正同界角为零；最大负同界角恒为负，在${\displaystyle -2\pi }$（负360度）到0之间的最大负同界角与原始角相同。

参见

• 角
• 角度
• 三角函数

参考文献

1. Neal, Karla V.; R. David Gustafson, Jeffrey D. Hughes. Coterminal angles. Precalculus, 1st ed.. Cengage Learning. : 第412页. ISBN 1133712673. （原始内容存档于2019-10-18）. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
2. Slavin, Steve; Ginny Crisonino. Circle. Wiley Self-Teaching Guides第 155 卷. John Wiley & Sons. 2004-10-28: 第90页. ISBN 0471680192. （原始内容存档于2019-11-06）. 引文使用过时参数coauthors (帮助)