整环

整环（Integral domain），又译作整域，是抽象代数中的一个概念，指含乘法单位元的无零因子的交换环。一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0，以除去平凡的环${\displaystyle \{0\}}$。整环是整数环的抽象化，它很好地继承了整数环的整除性质，使得我们能够更好地研究整除理论。

提示：此条目页的主题不是整数环。

整环也可以定义为理想${\displaystyle \{0\}}$是素理想的交换环，或交换的无零因子环。

形式定义

设${\displaystyle \left({\mathcal {R}},+,\times \right)}$是一个交换环，存在${\displaystyle e\in {\mathcal {R}}}$，${\displaystyle e\neq 0}$（0为加法单位元），使得

${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {R}},a\times e=e\times a=a,}$（存在乘法单位元）

并且对任意的${\displaystyle a,b\in {\mathcal {R}}}$，如果${\displaystyle a\times b=0}$，那么或者${\displaystyle a=0}$，或者${\displaystyle b=0}$。用数学方式表示为：

${\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathcal {R}}^{2},\ a\times b=0\quad \Rightarrow \quad (a=0\;\;\lor \;\;b=0).}$（没有零因子）

就称其为整环^[1]:19。

定义中的无零因子性质也可以用环中乘法的消去律替代：如果${\displaystyle a\times c=b\times c}$，并且${\displaystyle c\neq 0}$，那么${\displaystyle a=b}$^[2]:119。用数学方法表示就是：

${\displaystyle \forall (a,b,c)\in {\mathcal {R}}^{3},\ (a\times c=b\times c\;\;\land \;\;c\neq 0)\quad \Rightarrow \quad a=b.}$

例子

• 整环的代表性例子是整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$。${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\times )}$是一个交换环，并且乘法单位元1不等于加法单位0。最后，两个整数相乘等于0，则必然有其中一个等于0。
• 多项式环是整环当且仅当其系数构成整环。比如整系数一元多项式环${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$和实系数二元多项式环${\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]}$。
• 每个域都是整环^[2]:122。相对的，每个阿廷整环都是域。特别地，每个有限的整环都是有限域。整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$就是一个非阿廷整环不是域的例子，因为它有无穷递降的理想列：

${\displaystyle \mathbb {Z} \;\supset \;2\mathbb {Z} \;\supset \;\ldots \;\supset \;2^{n}\mathbb {Z} \;\supset \;2^{n+1}\mathbb {Z} \;\supset \;\cdots }$

• 对每个整数${\displaystyle n>0}$，${\displaystyle \mathbb {Z} +{\sqrt {n}}\mathbb {Z} }$是实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$的子环，因此是整环。${\displaystyle \mathbb {Z} +i{\sqrt {n}}\mathbb {Z} }$是复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$的子环，因此是整环。当${\displaystyle n=1}$时，后者被称为高斯整数环。
• 若${\displaystyle {\mathcal {R}}}$是一个交换环，${\displaystyle P}$是${\displaystyle {\mathcal {R}}}$的一个理想，那么商环${\displaystyle ^{\mathcal {R}}/_{P}}$是整环当且仅当P是素理想。由此可推出${\displaystyle {\mathcal {R}}}$是整环当且仅当${\displaystyle \{0\}=^{\mathcal {R}}/_{\mathcal {R}}}$是素理想。

整除、素元、既约元

在整环上可以定义类似于整数环里的整除性质。

a与b是R中的两个元素，定义a整除b或a是b的约数或b是a的倍数，当且仅当存在R中的一个元素x使得ax = b。

整除关系满足传递性，即a整除b，b整除c推出a整除c。a整除b，则a整除b的所有倍数。a的两个倍数的和与差仍是a的倍数。

1的约数称为R的可逆元。可逆元整除所有元素。

若a整除b并且b整除a，则称a与b相伴。a与b相伴当且仅当存在可逆元u使得au = b。

非可逆元q称为既约元，如果q不能写成两个非可逆元的乘积。

如果p不是零元或可逆元，且对任意a，b，如果p整除ab可推出p整除a或p整除b，则称p为素元。

这两个定义是整数环中素数的推广。如果p是素元，那么p生成的主理想是素理想。每个素元都是既约元，但反过来则只有当R是唯一分解环才正确。

参考资料

1. （法文）Jean Fresnel. Anneaux. Hermann. 2001. ISBN 2 7056 1447 8.
2. （英文）Joseph J. Rotman. Advanced Modern Algebra. American Mathematical Society. 2010年8月. ISBN 978-0821847411.