平行四边形

在几何学中，两组对边分别平行的四边形称为平行四边形（英语：parallelogram）。平行四边形一般用图形名称加依次四个顶点名称来表示，如图平行四边形记为▱ABCD。平行四边形的两对角线互相平分“但不一定互相垂直，也不一定相等”。（对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形）

平行四边形
平行四边形
类型	四边形
对偶	平行四边形（本身）
边	4
顶点	4
对称群	D1 (*)
面积	见下文
查 论 编

长方形、正方形、菱形都是平行四边形。

性质

1. 两组对边平行且分别相等；
2. 两组对角大小相等；
3. 相邻的两个角互补；
4. 对角线互相平分，且将平行四边形面积分为四等分；
5. 对于平面上任意一点，都存在一条能将任意平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；
6. 四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

分类

矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形。

判定

1. 两组对边分别相等的平面四边形是平行四边形；
2. 两组对角分别相等的平面四边形是平行四边形；
3. 一角分别与两邻角互补的四边形是平行四边形；
4. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
5. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
6. 对角线相交且互相平分的四边形是平行四边形。

面积

图中蓝色区域为平行四边形的面积

公式一：

${\displaystyle S=BH}$（参照右图）

公式二：

${\displaystyle S=BC\sin \theta \ }$（参照右图，其中 ${\displaystyle B,C}$ 为两条邻边长度，${\displaystyle C={\sqrt {A^{2}+H^{2}}}}$）

公式三：

${\displaystyle S={\frac {\tan \alpha }{2}}(B^{2}-C^{2})}$（其中 ${\displaystyle \alpha }$ 为对角线夹角，${\displaystyle B,C}$ 为两条邻边长度）^[1]

公式四：

${\displaystyle S={\frac {\sin \alpha }{2}}XY}$（其中 ${\displaystyle \alpha }$ 为对角线夹角，${\displaystyle X,Y}$ 为两条对角线长度）

参见

• 平行四边形恒等式
• 平行多边形
• 伐里农平行四边形

参考文献

1. Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, July 2009.