尖点

尖点（英语：Cusp）是曲线中的一种奇点。曲线上的动点在移到尖点时会开始反向移动，右图是一个典型的例子。 给定一个以解析参数式定义的平面曲线：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}}$

半立方抛物线x³–y²=0在(0,0)处有一尖点

尖点即为函数f及g之导数为零之点，同时方向导数在切线方向会变号（切线方向之斜率为${\displaystyle \lim(g'(t)/f'(t))}$）。尖点是局部的奇点，只牵涉到参数t的一个值，不像自交点牵涉到t的许多值。在某些时候，方向导数变号的条件会省去，此时奇点有可能看起来像一般的点。

以一个光滑隐函数定义的曲线来说，

${\displaystyle F(x,y)=0,}$

将F以泰勒级数展开，当其最低阶项可表为一次多项式的次方时，即为尖点所在处。但是并非所有拥有此性质的奇点都是尖点，由皮瑟级数（英语：Puiseux series）相关定理可知，若F是解析函数，则在座标线性变换后，在尖点附近可将曲线参数化成以下形式：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}}$

其中a是实数，m是正偶数，S(t)是k阶的幂级数且k>m。m也是F最低阶项中非零部分的阶数。这些定义已被勒内·托姆及弗拉基米尔·阿诺尔德推广至以可微函数定义的曲线，若某点邻域存在微分同胚，将曲线映至以上定义的尖点，则该曲线有尖点。在某些时候，以及以下文章，尖点被限定为二阶尖点，也就是说{{{1}}}。一个平面曲线的二阶尖点可被微分同胚表为x² – y^2k+1 = 0，其中k是正整数。

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