半立方抛物线

半立方抛物线（cuspidal cubic）是一个参数式如下的平面代数曲线^[1]

${\displaystyle x=t^{2}\,}$

${\displaystyle y=at^{3}.\,}$

不同a值的半立方抛物线

其隐方程（英语：implicit curve）为

${\displaystyle y^{2}-a^{2}x^{3}=0,}$

可以求得y得到以下的式子^[1]

${\displaystyle y=\pm ax^{3 \over 2}.}$

此三次平面曲线在原点有一尖点。

若令u = at, X = a²x，且令Y = a³y，可得

${\displaystyle X=u^{2}}$

${\displaystyle Y=u^{3}.}$

这意味着，针对任意的实数a，此曲线都可以位似变换（英语：homothetic transformation）到a = 1的曲线，也就是说，不同的a只对应不同的单位长度。

性质

有一种特殊的半立方抛物线，是抛物线的渐屈线^[2]，其方程式为

${\displaystyle x={3 \over 4}(2y)^{2 \over 3}+{1 \over 2}.}$

若将Tschirnhausen cubic catacaustic展开，可以证明也是半立方抛物线^[3]：

${\displaystyle x=3(t^{2}-3)=3t^{2}-9\,}$

${\displaystyle y=t(t^{2}-3)=t^{3}-3t.\,}$

半立方抛物线的另一个特性是其为等时曲线（英语：isochrone curve），也就是说一物体在其曲线上，因重力而往下移动，在相同的时间内会移动相同的距离。因此此曲线和等时降线有关，也是物体在不同的位置因重力同时往下移动，会在相同的时间到达最下方。此曲线也和最速降线问题有关，物体沿此轨迹，会从起点以最快速度到达终点^[4]。

半立方抛物线等时曲线的特性是由雅各布·伯努利为了回答戈特弗里德·莱布尼茨在1687年提出的一个挑战，在1690年提出此曲线的特性^[4]。

参考资料

1. Pickover, Clifford A., The Length of Neile's Semicubical Parabola, The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, Inc.: 148, 2009, ISBN 9781402757969.
2. Yoder, Joella G., Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature, Cambridge University Press: 88, 2004 [2016-04-06], ISBN 9780521524810, （原始内容存档于2017-08-20）.
3. Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
4. Carnahan, Walter H., Time Curves, School Science and Mathematics, 1947, 47 (6): 507–511, doi:10.1111/j.1949-8594.1947.tb06153.x.

外部链接

• 约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊, Neile's Semi-cubical Parabola, MacTutor数学史档案 （英语）