积性函数

在数论中，积性函数是指一个定义域为正整数n 的算术函数f(n)，有如下性质：f(1) = 1，且当a 和b 互质时，f(ab) = f(a) f(b)。

若一个函数f(n) 有如下性质：f(1) = 1，且对两个随意正整数a 和b 而言，不只限这两数互质时，f(ab) = f(a)f(b) 都成立，则称此函数为完全积性函数。

在数论以外的其他数学领域中所谈到的积性函数通常是指完全积性函数。此条目则只讨论数论中的积性函数。

例子

• ${\displaystyle \varphi (n)}$－欧拉φ函数，计算与n互质的正整数之数目
• ${\displaystyle \mu (n)}$－默比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
• ${\displaystyle \gcd(n,k)}$ －最大公因数，当k固定的情况
• ${\displaystyle \sigma _{k}}$(n): 除数函数，n的所有正因数的k次幂之和，当中k可为任何复数。在特例中有：
  • ${\displaystyle \sigma _{0}}$(n) = d(n) - n的正因数数目
  • ${\displaystyle \sigma _{1}}$(n) = ${\displaystyle \sigma }$(n) - n的所有正因数之和
• 1(n) －不变的函数，定义为 1(n)=1 （完全积性）
• Id(n) －单位函数，定义为 Id(n)=n （完全积性）
• Id_k(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Id_k(n) = n^k （完全积性）
  • Id₀(n) = 1(n) 及
  • Id₁(n) = Id(n)
• ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若n > 1，ε(n)=0。有时称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
• (n/p) －勒让德符号，p是固定质数（完全积性）
• λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目
• γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目
• 所有狄利克雷特征均是完全积性的

性质

积性函数的值完全由质数的幂决定，这和算术基本定理有关。即是说，若将n表示成质因数分解式如${\displaystyle {p_{1}}^{a_{1}}{p_{2}}^{a_{2}}...{p_{k}}^{a_{k}}}$，则${\displaystyle f(n)=f({p_{1}}^{a_{1}})f({p_{2}}^{a_{2}})...f({p_{k}}^{a_{k}})}$。

若f为积性函数且${\displaystyle f(p^{n})=f(p)^{n}}$，则f为完全积性函数。

狄利克雷卷积

两个积性函数的狄利克雷卷积必定是积性函数。因此，以卷积为群的运算，所有积性函数组成了一个子群。但注意两个完全积性函数的卷积未必是完全积性的。