外自同构群

抽象代数的群论中，群G的外自同构群Out(G)是自同构群Aut(G)对内自同构群Inn(G)的商群Aut(G)/Inn(G)。

G的一个自同构如不是内自同构，便称为外自同构。外自同构群Out(G)的元素是G的内自同构子群Inn(G)在自同构群Aut(G)中的陪集，故其元素不是外自同构，同一元素可对应到某个外自同构和任何内自同构的复合，因此不能定义G的外自同构群于G上的作用。不过因为内自同构都将群G的元素映射到同共轭类的元素，所以可定义出外自同构群在G的共轭类上的作用。

然而，若G为阿贝尔群，则G的内自同构群是平凡群，于是Out(G)可以自然地等同于Aut(G)，即是Out(G)的每个元素都对应唯一的自同构，因此Out(G)可以作用于G上。（而这时G的共轭类也各仅有一个元素。）

一些有限群的外自同构群

G	Out(G)	${\displaystyle |{\mbox{Out}}(G)|}$
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$	2
${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$（n > 2）	${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$	${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$（${\displaystyle \varphi (n)}$是欧拉函数）
${\displaystyle \mathbb {(} Z/p\mathbb {Z} )^{n}}$（p为素数，n > 1）	${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(p)}$	${\displaystyle \prod _{i=0}^{n-1}(p^{n}-p^{i})}$
对称群${\displaystyle S_{n}}$（n ≠ 6）	平凡群	1
${\displaystyle S_{6}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$	2
交错群${\displaystyle A_{n}}$（n ≠ 6）	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$	2
${\displaystyle A_{6}}$	${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$	4

与中心对偶

群G的外自同构群，在下述意义下可以视为对偶于G的中心Z(G)：G的元素g所对应的共轭作用${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$是自同构，由此得映射${\displaystyle \sigma \colon G\to \mathrm {Aut} (G)}$。这映射是群同态，核是G的中心，而余核是G的外自同构群（因这映射的像是G的内自同构群）。这关系可用正合列表示：

${\displaystyle Z(G)\hookrightarrow G{\overset {\sigma }{\to }}\operatorname {Aut} (G)\twoheadrightarrow \operatorname {Out} (G).}$

如果一个群只有平凡外自构群和平凡中心，即${\displaystyle \sigma }$为群同构时，称之为完备群。

有限单群的外自同构群

施赖埃尔猜想指任何有限单群的外自同构群，都是可解的。按照有限单群分类去逐一检验，这项猜想已得证，但至今未有直接证明。

参考

• Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94285-8 (chapter 7).