啁啾质量

在天文物理学里，一个致密双星系统的啁啾质量（chirp mass）定义为^[1][2][3]

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}}$；

其中，${\displaystyle {\mathcal {M}}}$是啁啾质量，${\displaystyle m_{1}}$与${\displaystyle m_{2}}$是两个星体的质量。

啁啾质量决定了双星系统因发射引力波失去能量而形成的前阶（英语：leading order）轨道演化现象。由于引力波的频率与轨道频率有关，啁啾质量决定了双星系统在旋近阶段所发射出的引力波的频率演化。在引力波数据分析里，计算啁啾质量比计算两个星体的个别质量简单很多。

定义

给定双星系统的质量分别为${\displaystyle m_{1}}$与${\displaystyle m_{2}}$，此系统的啁啾质量为^[1][2][3]

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}}$。

啁啾质量也可以用其它常见质量参数来表示：

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mu ^{3/5}M^{2/5}}$、

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\left[{\frac {q}{(1+q)^{2}}}\right]^{3/5}M}$、

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\eta ^{3/5}M}$；

其中，${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}}$是总质量，${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$是约化质量，${\displaystyle q=m_{1}/m_{2}}$是质量比，${\displaystyle \eta ={\frac {m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}}$是对称质量比。

轨道演化

在广义相对论里，双星系统的轨道相位演化可以用后牛顿力学近似方法来计算。该方法使用轨道速度${\displaystyle v/c}$为摄动项来进行展开。一阶引力波频率演化为^[1]:15

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}f^{11/3}}$；

其中， ${\displaystyle f}$是频率，${\displaystyle c}$是光速，${\displaystyle G}$是万有引力常数。

假设能够测量到引力波信号的频率与频率的一阶导数，则可估算出啁啾质量：^{[4][5][注 1]}

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {c^{3}}{G}}\left({\frac {5}{96}}\pi ^{-8/3}f^{-11/3}{\dot {f}}\right)^{3/5}}$

1

若要明确知道每个涉及星体的独自质量，则必须找出后牛顿展开的更高阶项。^[1]

参阅

• 广义相对论中的开普勒问题

注释

1. 重写方程（1）为^[6]

   ${\displaystyle {\dot {f}}={\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}f^{11/3}}$。

   2

   将方程（2）对于时间做积分，则可得到^[6]

   ${\displaystyle {\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}t+{\frac {3}{8}}f^{-8/3}+C=0}$；

   3

   其中，${\displaystyle C}$是积分常数。 然后，设定${\displaystyle x\equiv t}$、${\displaystyle y\equiv {\frac {3}{8}}f^{-8/3}}$，则可对多个数据点(x, y)做直线拟和，从直线的斜率计算出啁啾质量,

参考文献

1. Cutler, Curt; Flanagan, Éanna E. Gravitational waves from merging compact binaries: How accurately can one extract the binary's parameters from the inspiral waveform?. Physical Review D. 1994, 49 (6): 2658–2697. Bibcode:1994PhRvD..49.2658C. arXiv:gr-qc/9402014 . doi:10.1103/PhysRevD.49.2658.
2. L. Blanchet; T. Damour; B. R. Iyer; C. M. Will; A. G. Wiseman. Gravitational-Radiation Damping of Compact Binary Systems to Second Post-Newtonian order. Phys. Rev. Lett. (Submitted manuscript). 1995, 74 (3515): 3515–3518 [2018-12-20]. Bibcode:1995PhRvL..74.3515B. PMID 10058225. arXiv:gr-qc/9501027 . doi:10.1103/PhysRevLett.74.3515. （原始内容存档于2021-04-27）.
3. L. Blanchet; B. R. Iyer; C. M. Will; A. G. Wiseman. Gravitational waveforms from inspiralling compact binaries to second-post-Newtonian order. Classical and Quantum Gravity. 1996, 13 (575): 575–584. Bibcode:1996CQGra..13..575B. arXiv:gr-qc/9602024 . doi:10.1088/0264-9381/13/4/002.
4. Abbott, B. P. Properties of the Binary Black Hole Merger GW150914. Physical Review Letters. 2016, 116 (24): 241102. Bibcode:2016PhRvL.116x1102A. PMID 27367378. arXiv:1602.03840 . doi:10.1103/PhysRevLett.116.241102.
5. Abbott, B. P. Properties of the binary neutron star merger GW170817. 2018. Bibcode:2018arXiv180511579T. arXiv:1805.11579 .
6. Tiwari, Vaibhav; Klimenko, Sergei; Necula, Valentin; Mitselmakher, Guenakh. Reconstruction of chirp mass in searches for gravitational wave transients. Classical and Quantum Gravity. January 2016, 33 (1): 01LT01. Bibcode:2016CQGra..33aLT01T. arXiv:1510.02426 . doi:10.1088/0264-9381/33/1/01LT01.