斜率

在数学上，直线的斜率（slope）或称梯度（gradient），是描述与度量该线“方向”和“陡度”的数字，常用 ${\displaystyle m}$ 表示；斜率也用来计算斜坡的“斜度”（倾斜程度）。透过代数和几何能计算出直线的斜率。

斜率：${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )}$，${\displaystyle \theta }$是倾角

一直线的斜率在其上任一点皆相等；一曲线的斜率在其上任一点则不定，由该点切线的斜率而决定。曲线上某点的切线斜率，反映此曲线的变数在此点的变化快慢程度。透过微积分可计算出曲线中任一点的切线斜率，直线斜率的概念等同土木工程和地理的坡度。

另一个相关概念是倾角（angle of inclination）或斜角，即直线与水平轴（${\displaystyle x}$ 轴）所夹的最小角，以 ${\displaystyle \theta }$ 表示，${\displaystyle -90^{\circ }<\theta \leq 90^{\circ }}$。倾角 ${\displaystyle \theta }$ 的正切函数值为直线的斜率，即 ${\displaystyle m=\tan(\theta )}$；而 ${\displaystyle \theta =\arctan(m)}$，${\displaystyle \arctan }$ 是反正切函数。

定义

• 对于直角坐标系，一次函数：${\displaystyle y=kx+b}$，若 ${\displaystyle k}$、${\displaystyle b}$ 均不为0，则可说 ${\displaystyle k}$ 是斜率，${\displaystyle b}$ 是截距。

• 若横轴为 ${\displaystyle x}$ 轴，纵轴是 ${\displaystyle y}$ 轴，斜率 ${\displaystyle m}$ 可表示为：

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$　(${\displaystyle \Delta }$：变数的改变)

• 若已知道直角坐标系内两点 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ 和 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$，则斜率 ${\displaystyle m}$ 可表示为：

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

• 垂直线的斜率是未定义的，因为此时 ${\displaystyle \Delta x=0}$（即 分母为 0）。

运算

点斜式

如已知点${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$斜率为${\displaystyle m}$的直线方程式时，即可使用此方法。

${\displaystyle y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right)}$

截距式

若已知某直线在${\displaystyle x}$轴、${\displaystyle y}$轴上的截距分别为${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$，则该直线的方程可以表示为：

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}$

两点式

如已知${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$、${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}$相异两点${\displaystyle x_{1}}$≠${\displaystyle x_{2}}$，${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\left(x-x_{1}\right)}$

②若${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$，${\displaystyle x=x_{1}}$

原理：两个相似的直角三角形

斜截式

如已知斜率${\displaystyle m}$ ，${\displaystyle y}$截距为${\displaystyle b}$，则直线的方程式是

${\displaystyle y=mx+b.}$

若${\displaystyle x}$截距为${\displaystyle a}$，则是 ${\displaystyle y=m(x-a).}$

参见

• 直线
• 角度
• 截距
• 方程式
• 方程组