可罗萨里过剩数

可罗萨里过剩数（Colossally superabundant number，有时会简称CA）是指一正整数n，存在一正数ε，使得对于所有正整数m，下式恒成立：

${\displaystyle {\frac {\sigma (m)}{m^{1+\varepsilon }}}<{\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}}$

其中σ为除数函数，是所有正约数（包括本身）的和^[1]。

头几个超过剩数为： 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040... （OEIS数列A004490）

所有的可罗萨里过剩数都是超过剩数，但有些整数是超过剩数，而不是可罗萨里过剩数。

历史

可罗萨里过剩数最早是由斯里尼瓦瑟·拉马努金所发现，他在1915年提出的相关高合成数的论文中原来有包括有可罗萨里过剩数的相关研究^[2]。不过因为期刊发行单位伦敦数学学会的财务问题，拉马努金为了减少论文的篇幅，愿意删除论文中有关可罗萨里过剩数的内容^[3]。拉马努金的研究和黎曼猜想有关．配合他提出的有关可罗萨里过剩数上下限的假设，可以证明一个称为罗宾不等式的不等式在所有足够大（英语：sufficiently large）的正整数n时都成立^[4]。

拉马努金发现的可罗萨里过剩数比莱昂尼达斯·阿劳哥鲁（英语：Alaoglu）及保罗·埃尔德什所发现的类似整数要严格一些些^[5]。

性质

可罗萨里过剩数是由有许多约数的整数组成的数列，以除数函数和本身之间的闗系来判断是否有很多约数。一正整数n的除数函数是所有n的正约数的和（包括1和n）。保罗·巴赫曼证明σ(n)的平均值大致接近π²n / 6^[6]。多玛·哈肯·格朗沃尔（英语：Thomas Hakon Grönwall）提出的格朗沃尔定理证明σ(n)最大值的数量值略大于上述的公式，而且存在一个递增数列n使得整数σ(n) 大致和e^γnlog(log(n))大小相当，其中γ为欧拉-马歇罗尼常数^[6]。可罗萨里过剩数需要在针对某一特定ε > 0的条件下，下列函数在n为可罗萨里过剩数时有最大值：

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}}$

保罗·巴赫曼及古伦沃尔证明了针对每个小于0的ε > 0，此函数会有一最大值，而且当ε越接近0，最大值的数值会越大。因此有无穷多个Colossally过剩数，不过分布的非常稀疏，在小于10¹⁸的范围内只有22个^[7]。

针对每一个ε值，上述的函数均存在一个全域极大值。但各ε值下函数的全域极大值可能有多个点，不一定只有一个点。阿劳哥鲁及保罗·埃尔德什研究在一定特定值的ε值下，会有几个不同的n使上述函数均为全域最大值，针对大多数的ε值，只有一个n使函数有全域最大值。不过埃尔德什和让-路易·尼古拉（Jean-Louis Nicolas）证明有一些离散的ε值形成的集合，在该ε值下函数会有2或4个不同的n值，都会使函数有相同的全域最大值^[8]。

Alaoglu及保罗·埃尔德什合作在1944年发表的论文中试图证明二个连续可罗萨里过剩数之间的比值恒为素数，但没有成功。后来将上述的叙述变成一个猜想，而且证明此猜想会依循超越数论中四个指数猜想（英语：Four exponentials conjecture）中的一个特例，也就是对于二相异的素数p,q及一实数t，只有在t为正整数时才能同时使p^t及q^t均为有理数。

根据六个指数定理（英语：six exponentials theorem）中有关三个素数的类似结果（也就是卡尔·西格尔声称由他本人证明的定理），阿劳哥鲁及保罗·埃尔德什已证明二个连续可罗萨里过剩数之间的比值恒为素数或是半素数（二个相异素数乘积）。

阿劳哥鲁及保罗·埃尔德什的猜想尚未被证实或推翻。若其猜想成立，表示存在一个由非相异素数组成的数列p₁, p₂, p₃,…，使得第n个可罗萨里过剩数可以用下式表示：

${\displaystyle c_{n}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}}$

假设上述猜想成立，此素数数列的前几项为2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 （OEIS数列A073751），而且所有的ε值下，函数只会有1或2的n值使函数有相同的全域最大值，没有任何一个ε值会对应4个使函数有相同全域最大值的n值。

和黎曼猜想的关系

1980年代盖.罗宾证明黎曼猜想等于以下的不等式对于所有大于5040的正整数都成立^[9]：

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n.\,}$

当n = 5040时上述等式不成立，但罗宾证明若黎曼猜想成立时，上述不等式只对部分小于5040的n会不成立，对任何大于5040的n都会成立，上述不等式称为罗宾不等式。若除了5040外，仍有其他大于5040的正整数使罗宾不等式不成立，该些正整数中至少会有一个是可罗萨里过剩数，因此黎曼猜想也等于上述不等式对于所有大于5040的可罗萨里过剩数都成立。

参考资料

1. K. Briggs, "Abundant Numbers and the Riemann Hypothesis", Experimental Mathematics 15:2 (2006), pp. 251–256, doi:10.1080/10586458.2006.10128957.
2. S. Ramanujan, "Highly Composite Numbers", Proc. London Math. Soc. 14 (1915), pp. 347–407, MR2280858.
3. S. Ramanujan, Collected papers, Chelsea, 1962.
4. S. Ramanujan, "Highly composite numbers. Annotated and with a foreword by J.-L. Nicholas and G. Robin", Ramanujan Journal 1 (1997), pp. 119–153.
5. L. Alaoglu, P. Erdős, "On highly composite and similar numbers", Trans. Amer. Math. Soc. 56:3 (1944), pp. 448–469, MR0011087.
6. G. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers. Fifth Edition, Oxford Univ. Press, Oxford, 1979.
7. J. C. Lagarias, An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis, American Mathematical Monthly 109 (2002), pp. 534–543.
8. P. Erdős, J.-L. Nicolas, "Répartition des nombres superabondants", Bull. Math. Soc. France 103 (1975), pp. 65–90.
9. G. Robin, "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 63 (1984), pp. 187-213.

外部链接

• Keith Briggs on colossally abundant numbers and the Riemann hypothesis （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• MathWorld entry （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Notes on the Riemann hypothesis and abundant numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• More on Robin's formulation of the RH （页面存档备份，存于互联网档案馆）