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數學形式化集合的長度,面積或體積 来自维基百科,自由的百科全书
在测度论中,勒贝格测度(Lebesgue measure)是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1,2,3的情况,勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析,特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集;勒贝格可测集 A 的测度记作 λ (A) 。一般来说,我们允许一个集合的勒贝格测度为 ∞ ,但是即使如此,在假设选择公理成立时,Rn 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题,它是选择公理的一个结果。
勒贝格测度以法国数学家昂利·勒贝格命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度,次年又给出勒贝格积分的定义,并收录进他的学位论文中。
人们知道,区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。
我们想构造一个映射 m ,它能将实数集的子集 E 映射到非负实数 m(E) ,并称这个数为集合 E 的测度。最理想的情况下,m 应该具有以下性质:
遗憾的是,这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次,寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度,它只满足有限可加性。
区间的长度定义为。对,勒贝格外测度定义为
对每一列能覆盖的开区间,作长度和。所有这些组成一个有下界的数集,下确界称为勒贝格外测度,记做。
勒贝格测度定义在勒贝格σ代数上。若集合满足:
则为勒贝格σ代数的元素,称为勒贝格可测集。对勒贝格可测集,其勒贝格测度就定义为勒贝格外测度。
设集合 A 与 B 是在 Rn 上的集合。勒贝格测度有如下的性质:
简要地说,的勒贝格可测子集组成一个包含所有区间的笛卡尔积的σ-代数,且 λ 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 的测度。
勒贝格测度是σ-有限测度。
的子集 A 是零测集,如果对于任意,A 都可以用可数多个盒(即 n 个区间的乘积)来覆盖,且其总体积最多为。所有可数集都是零测集。
如果的子集的豪斯多夫维数小于,那么它是关于维勒贝格测度的零测集。在这里,豪斯多夫维数是相对于上的欧几里得度量(或任何与其利普希茨等价的度量)而言。另一方面,一个集合可能拓扑维数小于,但具有正的维勒贝格测度。一个这样的例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集,它的拓扑维数为0,但1维勒贝格测度为正数。
为了证明某个集合A是勒贝格可测的,我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B,与A 的对称差是零测集,然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。
勒贝格测度的现代构造基于外测度[3],并应用卡拉西奥多里扩张定理。
固定中的盒子是形如的集合,其中,连乘号代表笛卡尔积。盒子的体积定义为
对于的任何子集A,可以定义它的外测度
然后定义集合A为勒贝格可测的,如果对于所有集合,都有:
这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。对于任何勒贝格可测的集合A, 其勒贝格测度定义为
勒贝格不可测集合的存在性是选择公理的结果。根据维塔利定理,存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是的子集,且其测度为正,那么A便有勒贝格不可测的子集。
1970年,Robert M. Solovay证明了,在不带选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中,勒贝格不可测集的存在性是不可证的(见Solovay模型)。
若 A 博雷尔可测,则其博雷尔测度与勒贝格测度一致;然而,更多的勒贝格可测集是博雷尔不可测的。博雷尔测度是平移不变的,但不是完备的。
哈尔测度可以定义在任何局部紧群上,是勒贝格测度的一个推广(带有加法的是一个局部紧群)。
豪斯多夫测度(参见豪斯多夫维数)是勒贝格测度的一个推广,对于测量的维数比n低的子集是很有用的,例如R³上的曲线、曲面,以及分形集合。注意不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数混淆。
可以证明,无法在无穷维空间上定义类似的勒贝格测度。
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