凸共轭

在数学中，凸共轭（英语：convex conjugate）是勒让德变换的一种推广；凸共轭也被称作勒让德-芬克尔变换（Legendre–Fenchel transformation），以阿德里安-马里·勒让德和威尔纳·芬克尔命名。

定义

函数${\displaystyle f:X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]}$在扩展的实数轴上取值。

它的凸共轭定义为：${\displaystyle f^{\star }:X^{*}\rightarrow (-\infty ,+\infty ]:x^{*}\rightarrow \sup\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\mid x\in X\}}$

这里，${\displaystyle X}$表示实赋范向量空间，${\displaystyle X^{*}}$表示${\displaystyle X}$的对偶空间。

映射${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X^{*}\times X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]}$表示一个二次型，满足：对于${\displaystyle X^{*}}$（${\displaystyle X}$）中任意非零元素${\displaystyle x^{*}}$，总能在${\displaystyle X}$（对应地，${\displaystyle X^{*}}$）中找到一个元素${\displaystyle x}$使得${\displaystyle \left\langle x^{*},x\right\rangle =0}$。

例子

• 仿射变换${\displaystyle f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b,\,a\in \mathbb {R} ^{n},b\in \mathbb {R} }$；它的凸共轭是：

${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}}$

• 幂函数${\displaystyle f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},\,1<p<\infty }$；它的凸共轭是：

${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},\,1<q<\infty }$ 这里 ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$

• 绝对值变换${\displaystyle f(x)=\left|x\right|}$；它的凸共轭是：

${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}}$

• 指数函数

${\displaystyle f(x)=\,\!e^{x}}$；它的凸共轭是： ${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}}$

性质

逆序性

如果${\displaystyle f\leq g}$，那么就有${\displaystyle g^{*}\geq f^{*}}$。这里的${\displaystyle f\leq g}$指，对定义域中所有元素${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$成立。

半连续性与两次凸共轭

函数${\displaystyle f}$的凸共轭总具有半连续性，因此函数${\displaystyle f}$的两次共轭${\displaystyle f^{**}}$也具有半连续性。同时，${\displaystyle f^{**}}$还是是闭凸包，也即最大的凸的半连续函数，满足${\displaystyle f^{**}\leq f}$。

由Fenchel-Moreau定理可以知道，对于合适的函数${\displaystyle f}$， ${\displaystyle f^{**}=f}$ 当且仅当${\displaystyle f}$是半连续的凸函数。

Fenchel不等式

${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p)}$ ， 这里${\displaystyle x\in X,p\in X^{*}}$，${\displaystyle f^{*}}$是${\displaystyle f}$的凸共轭。

凸性

凸共轭算子自身是凸的，即：

取函数${\displaystyle f_{1},f_{2}}$，${\displaystyle (0,1)}$间任意实数${\displaystyle \lambda }$，有：${\displaystyle \left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{\star }\leq (1-\lambda )f_{0}^{\star }+\lambda f_{1}^{\star }}$ 成立。

最小值卷积

对于两个函数f和g，它们的最小值卷积被定义为

${\displaystyle \left(f\Box g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$

如果 f₁, …, f_m 都是Rⁿ上的proper且凸且半连续的函数。那么它们的最小值卷积是凸且半连续的（但不一定proper），并且满足关系

${\displaystyle \left(f_{1}\Box \cdots \Box f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*}.}$

两个函数的最小值卷积具有几何意义。两个函数的最小值卷积的超图是这两个函数的超图的闵可夫斯基和