勒让德变换

勒让德变换（英语：Legendre transformation）是一个在数学和物理中常见的技巧，得名于阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre）。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。它经常用于经典力学中从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导、热力学中热力学势的推导以及多变量微分方程的求解。

xy-图展示出函数 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 的勒让德变换。函数用红色表示，在切点 ${\displaystyle (x_{0},\ f(x_{0}))\,\!}$ 的切线用蓝色表示。切线与 y-轴相交于点 ${\displaystyle (0,\ -f^{*})\,\!}$ ；这里，${\displaystyle f^{*}\,\!}$ 是勒让德变换 ${\displaystyle f^{*}(p_{0})\,\!}$ 的值，${\displaystyle p_{0}={\dot {f}}(x_{0})\,\!}$ 。特别注意，穿过在红线上任何其它点，而拥有同样斜率 ${\displaystyle {\dot {f}}(x_{0})\,\!}$ 的直线，其与 y-轴相交点必定比点 ${\displaystyle (0,\ -f^{*})\,\!}$ 高，证明 ${\displaystyle f^{*}\,\!}$ 确实是极大值。

概述

为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构，表述此系统的函数关系 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 改用一个新函数 ${\displaystyle f^{\star }(p)\,\!}$ 来表示，其变数 ${\displaystyle p\,\!}$ 是 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 的导数，${\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!}$ 。而 ${\displaystyle f^{\star }(p)\,\!}$ 的值是如右图蓝线在 y 轴的负截距

换句话说，从${\displaystyle (x,f(x))\,\!}$ x 值到 y 值的函数，变换成${\displaystyle (p,f^{\star }(p))\,\!}$ f(x) 在 x 点的导数到在 x 点切线 y 截距的函数

这程序是由阿德里安-马里·勒让德所发明的，因此称为勒让德变换。称函数 ${\displaystyle f^{\star }(p)\,\!}$ 为 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 的勒让德变换；

用方程表示

${\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!}$ 。

此式子表示 ${\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)}$ 中的 u 对 ${\displaystyle f^{\star }(p)}$ 而言是个参数，且参数 u 会满足 ${\displaystyle {{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!}$ 的 ${\displaystyle u}$。即求算表达式关于变数 ${\displaystyle u\,\!}$ 的极值。

为方便讨论，把讨论限定在 ${\displaystyle f(x)}$为严格单调递增。会有这方程是因为在 ${\displaystyle p=f'(x_{0})}$ 也就是斜率不变的状况下，对每个${\displaystyle x_{0}}$而言，所有与曲线${\displaystyle (u,f(u))}$相交且斜率为${\displaystyle f'(x_{0})}$的直线族为 ${\displaystyle y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)\,\!}$。若令${\displaystyle u=x_{0}}$，该直线即是${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x_{0}}$的切线方程。把x当作常数并由右图直接观察可知，在${\displaystyle u=x_{0}}$的情况下，${\displaystyle y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)=f'(x_{0})x-[f'(x_{0})u-f(u)]}$值是最小的，也就是说直线方程中${\displaystyle [f'(x_{0})u-f(u)]}$这部分是最大的，而正好 ${\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!}$，正是原方程所求的极值。

勒让德变换是点与线之间对偶性关系（duality）的一个应用。函数 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 设定的函数关系可以用 ${\displaystyle (x,\ y=f(x))\,\!}$ 点集合来表示；也可以用切线(在严格单调递增的讨论下，切线跟导数p有一对一的关系)集合表示。

若将勒让德变换广义化，则会变为勒让德-芬伽变换（Legendre-Fenchel transformation）。勒让德变换时常用于热力学与哈密顿力学。

定义

给定区间I ⊂ ℝ和凸函数f : I → ℝ，则其勒让德变换为函数f* : I* → ℝ，

${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\quad x^{*}\in I^{*}}$

其中${\displaystyle \sup }$表示上确界，定义域${\displaystyle I^{*}}$为

${\displaystyle I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x))<\infty \right\}~.}$

当f(x)为凸函数时，这个函数有良好的定义。

不难将勒让德变换推广到定义在凸集X ⊂ ℝⁿ 上的凸函数f : X → ℝ：其变换f * : X* → ℝ为定义在

${\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}}$

上的函数

${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,}$

其中${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle }$表示x*和 x的点积。

从导数的角度理解勒让德变换

对于实轴上具有可逆一阶导数的凸函数${\displaystyle f}$，其勒让德变换 ${\displaystyle f^{*}}$的一阶导数与${\displaystyle f}$的一阶导数互为反函数，反过来说，这个条件可以给出至多相差一个常数的${\displaystyle f^{*}}$。

最大值式定义

更详细地定义勒让德变换，为了求得 ${\displaystyle L(x,\ p)=px-f(x)\,\!}$ 关于 ${\displaystyle x\,\!}$ 的最大值，设定 ${\displaystyle L(x,\ p)\,\!}$ 关于 ${\displaystyle x\,\!}$ 的偏导数为零：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0\,\!}$ 。

则

${\displaystyle p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}\,\!}$ 。(1)

这表达式必为最大值。因为，凸函数 ${\displaystyle L(x,\ p)\,\!}$ 的二阶导数是负数：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0\,\!}$ ；

用方程 (1) 来计算函数 ${\displaystyle f\,\!}$ 的反函数 ${\displaystyle x=g(p)\,\!}$ 。代入 ${\displaystyle L(x,\ p)\,\!}$ 方程，即可以得到想要的形式：

${\displaystyle f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!}$ 。

计算 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 的勒让德变换，所需的步骤为：

1. 找出导函数 ${\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!}$ ，
2. 计算导函数 ${\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!}$ 的反函数 ${\displaystyle x=g(p)\,\!}$ ，
3. 代入 ${\displaystyle F(x)\,\!}$ 方程来求得新函数 ${\displaystyle f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!}$ 。

这定义切确地阐明：勒让德变换制造出一个新函数 ${\displaystyle f^{\star }(p)\,\!}$ ；其新自变量为 ${\displaystyle p={\mathrm {d} f \over \mathrm {d} x}\,\!}$ 。

反函数式定义

另外一种勒让德变换的定义是：假若两个函数 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 与 ${\displaystyle f^{\star }(p)\,\!}$ 的一阶导数是互相的反函数；

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}f^{*}\right)^{-1}(x)\,\!}$ ，

或者，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}f^{*}(p)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f\right)^{-1}(p)\,\!}$ ，

则 ${\displaystyle f\,\!}$ 与 ${\displaystyle f^{\star }\,\!}$ 互相为彼此的勒让德变换。

依照定义，

${\displaystyle {\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=p\,\!}$ ，

${\displaystyle {\mathrm {d} f^{\star }(p) \over \mathrm {d} p}=x\,\!}$ 。

思考下述运算：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}(xp-f(x))=x+p{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} p}}-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} p}}=x={\mathrm {d} f^{\star }(p) \over \mathrm {d} p}=x\,\!}$ 。

所以，

${\displaystyle f^{\star }(p)=xp-f(x)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!}$ ；

这里，${\displaystyle x=g(p)\,\!}$ 。

这答案是标准答案；但并不是唯一的答案。设定

${\displaystyle f^{\star }(p)=f(x)-xp\,\!}$ ，

也可以满足定义的要求。在某些情况下（例如：热力势（thermodynamic potential），会采用非标准的答案。除非另外注明，此页面一律采用标准答案。

数学性质

以下讨论，函数 ${\displaystyle f\,\!}$ 的勒让德变换皆标记为 ${\displaystyle f^{\star }\,\!}$ 。

标度性质

勒让德变换有以下这些标度性质：

${\displaystyle f(x)=a\cdot g(x)\rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)\,\!}$ ，

${\displaystyle f(x)=g(a\cdot x)\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)\,\!}$ ，

由此可知，一个 ${\displaystyle r\,\!}$ 次齐次函数的勒让德变换是一个 ${\displaystyle s\,\!}$ 次齐次函数；这里，

${\displaystyle {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1\,\!}$ 。

平移性质

${\displaystyle f(x)=g(x)+b\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b\,\!}$ ，

${\displaystyle f(x)=g(x+y)\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y\,\!}$ 。

反演性质

${\displaystyle f(x)=g^{-1}(x)\rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)\,\!}$ 。

线形变换性质

让 ${\displaystyle A\,\!}$ 成为一个从 ${\displaystyle R^{n}\,\!}$ 到 ${\displaystyle R^{m}\,\!}$ 的线形变换。对于任何定义域为 ${\displaystyle R^{n}\,\!}$ 的凸函数 ${\displaystyle f\,\!}$ ，必有

${\displaystyle \left(Af\right)^{\star }=f^{\star }A^{\star }\,\!}$ ；

这里，${\displaystyle A^{\star }\,\!}$ 是 ${\displaystyle A\,\!}$ 的伴随算子定义为

${\displaystyle \left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle \,\!}$ 。

例子

例一

e^x（红色实线）与其勒让德变换（蓝色虚线）。

指数函数

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

的勒让德变换为

${\displaystyle f^{*}(p)=p(\ln p-1)}$，

因为它们的一阶导数 e^x与 ln p互为反函数。

应用

勒让德变换

热力学

在热力学里，使用勒让德变换主要的目的是，将一个函数与所含有的一个自变量，变换为一个新函数与所含有的一个新自变量，（此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数）；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。勒让德变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作变换。例如，内能 ${\displaystyle U\,\!}$ 是外延量（extensive）熵 ${\displaystyle S\,\!}$ ，体积 ${\displaystyle V\,\!}$ ，与化学成分（chemical composition）${\displaystyle N_{i}\,\!}$ 的显函数

${\displaystyle U=U(S,\ V,\ \{N_{i}\})\,\!}$ 。

对于 ${\displaystyle -PV\,\!}$ ，函数 ${\displaystyle U\,\!}$ （非标准的）勒让德变换为焓函数 ${\displaystyle H\,\!}$ ：

${\displaystyle H(S,\ P,\ \{N_{i}\})=U+PV\,\!}$ ，

${\displaystyle P=-\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S,\ \{N_{i}\}}\,\!}$ 。

一个熵与内含量（intensive）压力的函数。当压力是常数时，这函数很有用。

对于 ${\displaystyle TS\,\!}$ ，函数 ${\displaystyle H\,\!}$ 勒让德变换为吉布斯能函数 ${\displaystyle G\,\!}$ :

${\displaystyle G(T,\ P,\ \{N_{i}\})=H-TS\,\!}$ ，

${\displaystyle T=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{P,\ \{N_{i}\}}\,\!}$ 。

对于 ${\displaystyle TS\,\!}$ ，函数 ${\displaystyle U\,\!}$ 勒让德变换为亥姆霍兹自由能函数 ${\displaystyle A\,\!}$ :

${\displaystyle A(T,\ V,\ \{N_{i}\})=U-TS\,\!}$ ，

${\displaystyle T=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,\ \{N_{i}\}}\,\!}$ 。

这些自由能函数时常用在常温的物理系统。

经典力学(哈密顿力学)

在经典力学里，勒让德变换专门用来从拉格朗日表述导引出哈密顿表述，或反导之。拉格朗日量 ${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$ 是广义坐标 ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!}$ 与广义速度 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}\,\!}$ 的函数；而哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!}$ 将函数的自变量变换为广义坐标 ${\displaystyle \mathbf {q} \,\!}$ 与广义动量 ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})\,\!}$ ：

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\,\!}$ ，

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t),\ t)\,\!}$ 。

正则变换

正则变换广泛地应用勒让德变换在其理论里。正则变换是一种正则坐标的改变，${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )\,\!\,\!}$ ，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。正则变换的方程为

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}\,\!\,\!}$ ，

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=-{\dot {\mathbf {P} }}\,\!\,\!}$ ，

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}\,\!}$ ；

这里，${\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} \,\!}$ 是旧正则坐标，${\displaystyle \mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} \,\!}$ 是新正则坐标，${\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!}$ 是旧哈密顿量，${\displaystyle {\mathcal {K}}\,\!}$ 是新哈密顿量，${\displaystyle G\,\!}$ 是生成函数。

参阅

• 哈密顿力学
• 切触几何
• 正则变换

参考文献

• Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3.
• Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.