共线 (几何)

此条目介绍的是几何学的性质。关于共线的其他用法，请见“共线”。

在几何学中，共线是指点在空间中的一种关系，表示一系列点落在同一条直线上的性质^{[注 1]}，也就是说，若有一系列点都位于一条直线上则可以称那一系列的点共线^[7]。广义上来说，这个词汇可用于所有排成一直线的物体上，即我们常说的“在同一列”以及“在同一行”。

点的共线

在所有的几何学中一系列的点位于同一条直线上就是共线^{[注 1][6]}，在平面几何（欧式几何）中会直接假设为这些点落在一条笔直的直线上，然而，大部分的几何（含欧式几何）中，线，是一种原始（未经定义）的一类物件（英语：Primitive notion），因此这个假设未必是恰当的。一个几何模型对点、线和其他类型的物件与另一个物件之间的关系给出了解释，物件间的共线关系可以借由该模型解释。例如在球面几何学中，标准的模型是将线描绘成球面上半径最大的圆形，共线的点集就会落在这个大圆上。然而在以平面几何的观点来看，这些点并没有位于“笔直的线”上，也不像是排成一行。

几何上，线到线的映射称为直射，它保留了共线的特性。向量空间的线性映射在几何学中看起来就是线到线的映射。

几何上的共线

三角形

所有三角形与之相关的点集将共线：

• 三角形的垂心、外心、重心、艾希特点（英语：Exeter point）、德朗香点（英语：de Longchamps point）、九点圆心共线于欧拉线。
• 也有其他点与德朗香点（英语：de Longchamps point）共线在相异于欧拉线的直线^{[8][9][10][11]}。

四边形

• 若一个凸四边形ABCD，将边延长至对边相交，并令交点为E和F，则线段AC、BD和EF的中点将共线，而这条线称为牛顿线（英语：Newton_line）^[12]。
• 凸四边形的重心G、准垂心（英语：en:Quadrilateral#Remarkable points and lines in a convex quadrilateral）H和准外心（英语：quasicircumcenter）O共线，且HG = 2GO^[13]。

参见

• 共面
• 共线方程

注释

1. 这个概念基本上适用于所有几何学^[2]，但是经常只讨论了于球面几何学的定义^[4][6]

参考文献

1. Dembowski, Peter, Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
2. Dembowski (1968，pg. 26)^[1]
3. Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry, New York: John Wiley & Sons, 1969, ISBN 0-471-50458-0
4. Coxeter (1969，pg. 168)^[3]
5. Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J., Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-59787-0
6. Brannan, Esplen & Gray (1998，pg.106)^[5]
7. Colinear (Merriam-Webster dictionary). merriam-webster. [2016-07-18]. （原始内容存档于2019-05-28）.
8. Kimberling, Clark, X(20) = de Longchamps point, Encyclopedia of Triangle Centers, [2012-09-06], （原始内容存档于2012-04-19）.
9. Vandeghen, A., Mathematical Notes: Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle, The American Mathematical Monthly, 1964, 71 (2): 176–179, MR 1532529, doi:10.2307/2311750.
10. Coxeter, H. S. M., Some applications of trilinear coordinates, Linear Algebra and its Applications, 1995,, 226/228: 375–388, MR 1344576, doi:10.1016/0024-3795(95)00169-R. See in particular Section 5, "Six notable points on the Euler line", pp. 380–383.
11. Longuet-Higgins, Michael, A fourfold point of concurrence lying on the Euler line of a triangle, The Mathematical Intelligencer, 2000, 22 (1): 54–59, MR 1745563, doi:10.1007/BF03024448.
12. Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2006, p. 15.
13. Myakishev, Alexei, On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral (PDF), Forum Geometricorum, 2006, 6: 289–295 [2016-08-09], （原始内容存档 (PDF)于2019-12-31）