仿射空间

仿射空间 （英文: Affine space)，又称线性流形，是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。

仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量，或称平移向量。如果${\displaystyle X}$是仿射空间，${\displaystyle a,b\in X}$，那么从${\displaystyle a}$到${\displaystyle b}$的位移向量为${\displaystyle b-a}$。虽然无法做点与点之间的加法， 但是可以通过仿射组合(系数和为1的线性组合)的方式进行点的变化，仿射组合的系数构成了一个重心坐标 。 所有向量空间都可看作仿射空间。若${\displaystyle X}$是向量空间，${\displaystyle L\subseteq X}$是向量子空间，${\displaystyle a\in X}$, 则${\displaystyle a+L=\{a+l:l\in L\}}$是仿射空间。这里的${\displaystyle a}$也称为平移向量。若向量空间${\displaystyle X}$的维度是${\displaystyle n<\infty }$，那么${\displaystyle X}$的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解；对应的(去掉平移向量的)齐次方程的解是线性子空间，因为齐次方程的解永远包含零解。维度为${\displaystyle n-1}$的仿射空间也叫做仿射超平面。

非正式描述

下面的非正式描述可能比正式的定义更容易理解。仿射空间像是没有原点的向量空间，其中向量只有方向和大小。假设有甲乙两人，其中甲知道一个空间中真正的原点，但是乙认为另一个点${\displaystyle p}$才是原点。现在求两个向量${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$的和。乙画出${\displaystyle p}$到${\displaystyle a}$和${\displaystyle p}$到${\displaystyle b}$的箭头，然后用平行四边形找到他认为的向量${\displaystyle a+b}$。但是甲认为乙画出的是向量${\displaystyle p+(a-p)+(b-p)}$。同样的，甲和乙可以计算向量${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$的线性组合，通常情况下他们会得到不同的结果。然而，请注意：如果线性组合系数的和为1，那么甲和乙将得到同样的结果！

图中Alice为甲,Bob为乙

如果乙从他的原点${\displaystyle p}$向${\displaystyle \lambda a+(1-\lambda )b}$方向行走， 则从甲的角度来看，乙的行程为${\displaystyle p+\lambda (a-p)+(1-\lambda )(b-p)=\lambda a+(1-\lambda )b}$.

仿射空间就是这样产生的：定义仿射组合为系数和为1的线性组合；甲知道空间的“线性结构”，但是甲和乙都知道空间的“仿射结构”，也就是空间中所有仿射组合的值。 那么对于所有满足${\displaystyle \lambda +(1-\lambda )=1}$的系数，即使甲乙从不同的原点开始，他们将以同样的线性组合描述同样的点。

定义

称集合 ${\displaystyle A}$ 是仿射空间，是指其满足如下性质：

1. 存在一个与之相伴的向量空间 ${\displaystyle B}$
2. 存在一个映射 ${\displaystyle f:{\begin{aligned}A\times B&\to A\\(a,v)\ &\mapsto a+v\end{aligned}}}$，且这个映射有如下性质：
   1. 右幺性：${\displaystyle \forall a\in A,a+0_{B}=a}$;
   2. 结合律：${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in B,a\in A}$ 成立 ${\displaystyle (a+\alpha )+\beta =a+(\alpha +\beta )}$;
   3. 正则性：给定 ${\displaystyle A}$ 中的元素${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \exists f_{a}:B\rightarrow A}$ 是双射.

从定义中不难得出集合 ${\displaystyle A}$ 还具有如下性质:

1. ${\displaystyle \forall \alpha \in B,f_{\beta }:a\mapsto a+\alpha }$是一个双射;
2. 减法： ${\displaystyle \forall a,b\in A,\exists \alpha \in B}$ 使得${\displaystyle b=a+\alpha }$, 记这个 ${\displaystyle \alpha }$ 为 ${\displaystyle b-a}$.

另一种等价的定义可以表述为：集合 ${\displaystyle A}$ 是仿射空间, 是指存在某个向量空间${\displaystyle V}$, ${\displaystyle V}$ 在 ${\displaystyle A}$ 上的作为加法群的群作用是自由且可迁的.

参阅

• 仿射几何
• 仿射变换
• 仿射群
• 区间测度
• heap (数学)
• 空间 (数学)

参考文献

• Cameron, Peter J., Projective and polar spaces, QMW Maths Notes 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, 1991 [2010-03-09], MR1153019, （原始内容存档于2020-07-06）
• Coxeter, Harold Scott MacDonald, Introduction to Geometry 2nd, New York: John Wiley & Sons, 1969, ISBN 978-0-471-50458-0, MR123930
• Dolgachev, I.V.; Shirokov, A.P., A/a011100, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Ernst Snapper and Robert J. Troyer, Metric Affine Geometry, Dover Publications; Reprint edition (October 1989)