星形八面体

在几何学中，星形八面体（英语：Stellated octahedron）是八面体中唯一的星形多面体，是一种二复合四面体，又称为八角星体（英语：stella octangula、拉丁语为eight-pointed star，意为八角星^{[注 1]}），在1609时由约翰内斯·开普勒命名，然而他是位早期的几何学家。事实上，早在1509年，卢卡·帕西奥利已经在其作品神曲中描绘了此种多面体^[2]。

星形八面体

类别	复合正多面体
对偶多面体	二复合正四面体
识别
名称	星形八面体
参考索引	W19
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	{4,3}[2{3,3}]{3,4}[1]
施莱夫利符号	{{3,3}} a{4,3} ß{2,4} ßr{2,2}
性质
体	2
面	8
边	12
顶点	8
欧拉特征数	F=8, E=12, V=8 （χ=4）
组成与布局
复合几何体数量	2
复合几何体种类	2个正四面体
面的种类	8个正三角形
对称性
对称群	chiral octahedral (Oh)
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	chiral tetrahedral (Td)
图像
星状图（英语：Stellation_diagram） 星状（英语：Stellation）核 凸包 正八面体 正六面体
查 论 编

历史

1509年，卢卡·帕西奥利首先描述了该复合体，并将其在作品神曲中描绘^[2]。1609年约翰内斯·开普勒将其命名。埃德蒙·赫斯在1876年将其与其他复合体一同描述、提出。1974年，马格努斯·J·温尼尔（英语：Magnus J. Wenninger）将星形八面体归类在温尼尔多面体模型中并给予编号W₁₉，并记录于《多面体模型》中^[3]。

复合多面体

在几何学中，星形八面体又被称为二复合四面体，是一种凹多面体，属于星形多面体，外观看起来像两个正四面体卡在一起。这可以被看作是多面体和星形多面体的复合体，由两个正四面体构成，由于正四面体属于自身对偶多面体，因此组合成的星形八面体的对偶多面体也是自己。

正八面体的星形仅有一种，即是上述由两个正四面体构成的星形八面体。此外，此多面体也可以看做是一个三角化的八面体，但与卡塔兰立体中的三角化八面体不同。

它可以由安排在对称群为八面体旋转对称(O_h)的的几何结构中。

结构

星形八面体可以用几种方式构成：

• 这是一个关于正八面体的星形多面体，部分结构与正八面体共用。（见 温尼尔模型W₁₉.）

立体图

星状平面

星状图是正八面体，以黄色星状平面表示

• 也可以将两个正四面体交错卡在一起构成（一个正四面体和它的对偶四面体构成）
• 也可借由正八面体透过Kleetope变换构成，即在正八面体的每个面上加入角锥。这种结构与卡塔兰立体中的三角化八面体有着相同的拓朴结构。
• 它与是立方体的所有割面共用相同的顶点排布。

立方体的所有三角形割面可构成星形八面体

立方体的其中一个三角形割面以红色表示

文化

• 角色扮演游戏《Fate/Grand Order》中的圣晶石。
• VOCALOID 4声库“星尘”手上托着的小星星是星形八面体形状。
• 奇迹暖暖“云空之境”活动的羁绊之辰^[4]。

参见

• 星形多面体
• 正四面体 ： 此复合多面体的组成元素
• 五复合正四面体
• 十复合正四面体

注释

1. 此处指的是立体的八角星，与一般称的八角星不同，一般八角星是指平面的星形

参考文献

1. Regular polytopes, pp.48-50, p.98
2. Barnes, John, Shapes and Solids, Gems of Geometry, Springer: 25–56, 2009, ISBN 978-3-642-05091-6, doi:10.1007/978-3-642-05092-3_2.
3. Wenninger, Magnus（英语：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
4. 《奇迹暖暖》云空之境活动规则详解 活动玩法技巧分享. [2019-01-25]. （原始内容存档于2020-03-16）.

• Coxeter, HSM, Regular Polytopes, 3rd Edn., Dover 1973.
• Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. The Fifty-Nine Icosahedra 3rd. Tarquin. 1999. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 0676126. (1st Edn University of Toronto (1938))
• 埃里克·韦斯坦因. Tetrahedron 5-Compound. MathWorld.
• Metal Sculpture of Five Tetrahedra Compound （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• VRML model: [1]
• Compounds of 5 and 10 Tetrahedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.

延伸阅读

• Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Stella Octangula. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Compound of two tetrahedra. MathWorld.
• Klitzing, Richard. 3D compound. bendwavy.org.