覆叠空间

在拓扑学中，拓扑空间${\displaystyle X}$的覆叠空间是一对资料${\displaystyle (Y,p)}$，其中${\displaystyle Y}$是拓扑空间，${\displaystyle p:Y\to X}$是连续的满射，并存在${\displaystyle X}$的一组开覆盖

${\displaystyle X=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U}$

使得对每个${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$，存在一个离散拓扑空间${\displaystyle F}$及同胚：${\displaystyle \phi _{U}:U\times F\simeq p^{-1}(U)}$，而且${\displaystyle p\circ \phi _{U}:U\times F\to U}$是对第一个坐标的投影。

满足上述性质的${\displaystyle p:Y\to X}$称为覆叠映射。当${\displaystyle X}$连通时，${\displaystyle F}$的基数是个常数，称为覆叠的次数或重数。

空间${\displaystyle X}$的覆叠构成一个范畴${\displaystyle \mathbf {Cov} _{X}}$，其对象形如${\displaystyle p:Y\to X}$，从${\displaystyle p:Y\to X}$到${\displaystyle q:Z\to X}$态射是连续映射${\displaystyle f:Y\to Z}$，且${\displaystyle q\circ f=p}$。

例子

覆叠空间的例子：${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$

• 考虑映射${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$，${\displaystyle p(x)=e^{2\pi ix}}$。对任意${\displaystyle s=e^{2\pi it}\in \mathbb {S} ^{1}}$，取其开邻域

${\displaystyle U:=\{e^{2\pi is}:|s-t|<{\frac {1}{2}}\}\simeq (-1/2,1/2)}$

${\displaystyle f:(-1/2,1/2)\times \mathbb {Z} {\stackrel {\sim }{\to }}p^{-1}(U),\quad f(t,n)=t+n}$

由此可见${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$是覆叠映射。

• 莫比乌斯带的二重复叠空间是 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times [0,1]}$。

性质

局部性质 对于任何一个覆叠${\displaystyle p:C\to X}$都是一个局部同胚，这就是说，对任意的${\displaystyle c\in C}$，都存在一个在C中的开邻域U，和p(c)在X中的开邻域V，使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的，则在整体上也成立，并且覆叠p变为同胚。 纤维上的同胚

万有覆叠空间

连通空间${\displaystyle X}$的万有覆叠空间（若其存在）是范畴${\displaystyle \mathbf {Cov} _{X}}$的初始对象${\displaystyle u:{\tilde {X}}\to X}$，换言之，对每个覆叠${\displaystyle p:X'\to X}$，存在唯一的连续映射${\displaystyle f:{\tilde {X}}\to X'}$使得${\displaystyle p\circ f=u}$。万有覆叠若存在则必唯一。之前的${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$便是一例。

若要求${\displaystyle X}$局部道路连通且局部单连通，则万有覆叠空间存在。这类空间的主要例子有流形和单纯复形。在同样前提下，覆叠${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$是万有覆叠的充要条件是基本群${\displaystyle \pi _{1}({\tilde {X}},*)=\{e\}}$。

正则覆叠及主丛

以下同样要求${\displaystyle X}$连通、局部道路连通且局部单连通。对于覆叠映射${\displaystyle p:Y\to X}$，选定${\displaystyle x\in X}$。在${\displaystyle \mathbf {Cov} _{X}}$中的自同构群${\displaystyle \mathrm {Aut} (p)}$在纤维${\displaystyle p^{-1}(x)}$上的作用是自由的（即：${\displaystyle \mathrm {Aut} (p)\to \mathrm {Aut} (p^{-1}(x))}$是单射），对于${\displaystyle x\in X}$的不同选取，此作用仅差个自然的同构。

若${\displaystyle \mathrm {Aut} (p)}$的作用是传递的，则称${\displaystyle p:Y\to X}$为正则覆叠。万有覆叠必正则，反之则不然。按照纤维丛的观点，覆叠空间正是离散纤维的纤维丛，正则覆叠对应到主丛。

文献

• Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2008-05-15]. ISBN 0-521-79540-0. （原始内容存档于2018-05-19）.