实质条件

在命题演算，或在数学的逻辑演算中，实质条件、实质蕴涵或蕴涵算子是一种二元的真值泛函的逻辑运算符，它有着如下形式：

若A，则B。

此条目页的主题是逻辑运算符。关于逻辑门，请见“蕴涵门”。

文氏图${\displaystyle A\rightarrow B}$

这里的A和B是陈述变量（可以被语言中任何有意义的可表示的句子所替代）。在这种形式的陈述中，第一项这里的A，叫做前件；第二项这里的B，叫做后件。

这个算子使用右箭头“→”（有时用符号“⇒”或“⊃”）来符号化，其语义仅为“如果A为真，那么B亦为真”。它的常见写法见下：

• ${\displaystyle A\to B}$
• ${\displaystyle A\supset B}$
• ${\displaystyle A\Rightarrow B}$

须注意的是，${\displaystyle \Rightarrow }$更常用于语意蕴含（等同符号${\displaystyle \vDash }$）。这也是大多数初学者易搞混的点。

真值表

涉及实质蕴涵的真值表定义如下：

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle ~B}$	${\displaystyle ~A\rightarrow ~B}$（符合了“如果A为真，那么B必为真”）
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

由此可见，${\displaystyle A\to B}$ 等价于${\displaystyle \neg A\lor B}$。

形式性质

实质条件不要混淆于蕴涵关系${\displaystyle \models }$。但在多数逻辑包括经典逻辑中二者之间有密切关联。例如下列原理成立：

• 如果${\displaystyle \Gamma \models \psi }$则${\displaystyle \emptyset \models \phi _{1}\land \dots \land \phi _{n}\rightarrow \psi }$对于某些${\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{n}\in \Gamma }$。（这是演绎定理的特定形式。）

• 上述的逆命题

• ${\displaystyle \rightarrow }$和${\displaystyle \models }$而二者都是单调的；就是说如果${\displaystyle \Gamma \models \psi }$则${\displaystyle \Delta \cup \Gamma \models \psi }$，并且如果${\displaystyle \phi \rightarrow \psi }$则${\displaystyle (\phi \land \alpha )\rightarrow \psi }$对于任何α, Δ。（用结构规则的术语说，这叫做弱化。）

但是这些原理不在所有逻辑中成立。它们显著的不成立于非单调逻辑中，也不成立于相干逻辑中。

实质蕴涵的其他性质：

• 左分配律：${\displaystyle A\rightarrow (B\rightarrow C)\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))}$

• 传递律：(${\displaystyle A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))}$

• 幂等律：${\displaystyle A\rightarrow A}$

• 真理保持:在其下所有变量被指派为真值‘真’的释义生成真值‘真’作为实质蕴涵的结果。

• 前交换律：(${\displaystyle A\rightarrow (B\rightarrow C))\equiv (B\rightarrow (A\rightarrow C))}$

注意${\displaystyle A\rightarrow (B\rightarrow C)}$ 逻辑等价于${\displaystyle (A\land B)\rightarrow C}$；这个性质有时叫做柯里化。由于这些性质，对→符号采用右结合约定是合适的。

对自然语言的符号表示

在介绍逻辑的课本中经常包括的常见的练习是符号表示。这些练习给学生自然语言的一个句子或一段文本，学生必须把它们转换成符号语言。这是通过识别普通语言的等价的逻辑术语而完成的，这通常包括实质条件、析取、合取、否定和（经常的）双条件。更高级的逻辑书籍和介绍性读物的后续章节经常增加等号、存在量词和全称量词。

用来识别实质条件的、在普通语言中的一些短语包括，“如果/当”、“仅当”、“假定”、“假如”、“假设”、“蕴涵”、“即使”和“万一”。很多这些短语指示前件，另一些指示后件。正确识别“蕴涵方向”是重要的。比如，“A仅当B”被如下陈述捕获

A → B

而“A当B”被如下陈述正确捕获

B → A

蕴涵算符的中文意思包括“那么”“则”“是因为”“如果……就……”。

中文	数学表达式
如果天下雨，我就带伞	天下雨→我带伞
学生只有喜欢数学，才会学好物理 学生因为喜欢数学，物理才学得好	喜欢数学→物理学得好
如果老婆说对，我就要听	老婆说对→我就听

同其他条件陈述的比较

使用这个算子是逻辑学家规定的，作为结果，它产生了一些有争议的真值推理陈述句。比如前件明显为假设的，任何实质条件的整句陈述结果都是真值成立的。所以陈述句如“假设 ${\displaystyle 2}$是奇数，则蕴涵了 ${\displaystyle 2}$是偶数”这样违反自然语言直觉的推理蕴涵是真的。类似的，后件为真的任何实质条件陈述都是真的。所以陈述“若天空的颜色是绿色，则巴黎是在法国”是真的。

这些有争议的真值推理陈述句出现，是因为自然口语的人经常易受诱惑，而把实质条件和直陈条件或其他条件陈述如反事实条件，混淆在一起了。通过不把条件陈述读做“如果”和“则/那么”可以减轻这种诱惑。最常见的方式是把 A → B读做“要么不是情况 ${\displaystyle A}$ 要么是情况 ${\displaystyle B}$（或二者）”，或更简单的“ ${\displaystyle A}$为假 或 ${\displaystyle B}$为真（或二者）”。（当 ${\displaystyle A}$为假，此式即已被浅薄的（trivial）满足。这种陈述等价的自然口语方式，即是使用否定和析取(或)的逻辑符号 ${\displaystyle \neg A\vee B}$而获得的。）

引用

• Brown, Frank Markham（2003）, Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.

• Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.

• Edgington, Dorothy (2006), "Conditionals", in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Eprint（页面存档备份，存于互联网档案馆）.

• Quine, W.V.（1982）, Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.

• Stalnaker, Robert. 'Indicative Conditionals'. Philosophia 5（1975）: 269–286.

外部链接

• 陈力恒：〈如言、选言发微〉
• 陈力恒：〈关联词之逻辑关联（页面存档备份，存于互联网档案馆）〉