邦泽不等式

邦泽不等式（英语：Bonse's inequality）为数论中的不等式，得名自H·邦泽^[1]，有关质数阶乘和未在其质因数分解中出现的最小质数之间的大小关系。

陈述

若${\displaystyle p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}}$及${\displaystyle p_{n+1}}$为最小的${\displaystyle n+1}$个质数，且${\displaystyle n\geq 4}$，则有以下关系：

${\displaystyle p_{n+1}^{2}<p_{1}\cdots p_{n}\,}$

这不等式是伯特兰-切比雪夫定理的一个结果：伯特兰-切比雪夫定理指出，${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}$，因此有${\displaystyle p_{n+1}^{2}<4p_{n}^{2}<8p_{n-1}p_{n}<2\times 3\times 5\times p_{n-1}p_{n}\leqslant p_{1}p_{2}...p_{n}}$

数值验证

以下列出一些质数之间的关系，前四行不在邦泽不等式的范围内

${\displaystyle {4=2^{2}>0}}$

${\displaystyle {9=3^{2}>2=2}}$

${\displaystyle {25=5^{2}>2\cdot 3=6}}$

${\displaystyle {49=7^{2}>2\cdot 3\cdot 5=30}}$

---

${\displaystyle {121=11^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210}}$

${\displaystyle {169=13^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310}}$

${\displaystyle {289=17^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13=30030}}$

……

推广

邦泽不等式已为多名数学家推广，以下是部分数学家对邦泽不等式的推广。

Pósa的推广

Pósa在1960年证明了以下的陈述^[2]：

对于任意的${\displaystyle k>1}$而言，有一个取决于${\displaystyle k}$的正整数${\displaystyle n_{k}}$，使得下列关系对所有的${\displaystyle n\geq n_{k}}$都成立：

${\displaystyle p_{n+1}^{k}<p_{1}\cdots p_{n}\,}$

Sándor的推广

Sándor在1988年证明了以下的陈述^[3]：

对于任意的${\displaystyle n\geq 24}$，有以下关系：

${\displaystyle p_{n+5}^{2}+p_{[n/2]}^{2}<p_{1}\cdots p_{n}\,}$

其中${\displaystyle [x]}$是下取整函数。

Panaitopol的推广

Panaitopol在2000年证明了以下的陈述^[4]：

对于任意的${\displaystyle n\geq 2}$，有以下关系：

${\displaystyle p_{n+1}^{n-\pi (n)}<p_{1}\cdots p_{n}\,}$

其中${\displaystyle \pi (n)}$是质数计数函数。

Hassani的推广

Hassani在2005年证明了以下的陈述：

对于任意的${\displaystyle n\geq 101}$，有以下关系^[5]：

${\displaystyle p_{n+1}^{n-\pi (n)(1-{\frac {1}{\log {n}}})}<p_{1}\cdots p_{n}\,}$

其中${\displaystyle \pi (n)}$是质数计数函数。

Ghosh的推广

Ghosh在2019年证明了以下的陈述^[6]：

对于任意的${\displaystyle n\geq 6}$，有以下关系：

${\displaystyle n(1-{\frac {1}{\log {n}}}+{\frac {\log {\log {n}}}{4\log ^{2}{n}}})<{\frac {\vartheta (p_{n})}{\log {p_{n+1}}}}<n(1-{\frac {1}{\log {n}}}+{\frac {\log {\log {n}}}{\log ^{2}{n}}})}$

使用小o符号，则可表如下式：

${\displaystyle {\frac {\vartheta (p_{n})}{\log {p_{n+1}}}}=n(1-{\frac {1}{\log {n}}}+{\frac {\log {\log {n}}}{\log ^{2}{n}}}(1+o(1)))}$

其中${\displaystyle \vartheta (x)}$是第一切比雪夫函数，${\displaystyle \log(x)}$是自然对数。

参见

• 质数阶乘

脚注和出处

1. Bonse, H. Über eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung. Archiv der Mathematik und Physik. 1907, 3 (12): 292–295.
2. Pósa, L. Über eine Eigenschaft der Primzahlen. Mat. Lapok 11. 1960.
3. Sándor, J. Über die Folge der Primzahlen. Mathematica (Cluj). 1988, 30 (53): 67–74.
4. Panaitopol, L. An inequality involving prime numbers. Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 2000, (11): 33–35.
5. Hassani, M. Approximation of the product p_1p_2...p_n. RGMIA Research Report Collection 2. 2005.
6. Ghosh, A. An asymptotic formula for the Chebyshev theta function. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics. 2019, 25 (4): 1–7. doi:10.7546/nntdm.2019.25.4.1-7.

参考资料

• Uspensky, J. V.; Heaslet, M. A. Elementary Number Theory. New York: McGraw Hill. 1939: 87.
• Zhang, Shaohua. A new inequality involving primes. 2009. arXiv:0908.2943v1 . 引文使用过时参数version (帮助); cite arXiv模板填写了不支持的参数 (帮助)