韦达定理

在数学上，韦达定理（英语：Vieta's formulas），又称根与系数的关系，给出了多项式方程的根与系数的关系。该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达发现，并因此得名。

韦达定理常用于代数领域。它的实用之处在于，能够不用把根直接解出来就能计算根之间的关系。

内容

设 ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$ 是一个一元 n 次实（或复）系数多项式，首项系数 ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$，令 P 的 n 个根为 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$，则根 ${\displaystyle \{x_{i}\}}$和系数 ${\displaystyle \{a_{j}\}}$之间满足关系式

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}}$

等价的说，对任何 k = 1, 2, ..., n，系数比 ${\displaystyle {\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$ 是所有任取 k 个根的乘积的和的 ${\displaystyle (-1)^{k}}$ 倍，即

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$

或：

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}x_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$

其中 ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}$ 是要让所有的根的组合都恰好出现一次。

事实上，等号的左边被称作是初等对称多项式。

证明

因为 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ 是一元 n 次多项式 ${\displaystyle M(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$ 的 n 个根。于是有

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}$

根据乘法原理展开右式，比较等号两边的各项系数可得

${\displaystyle {\begin{cases}a_{n-1}=-a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})\\a_{n-2}=a_{n}\left((x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}\right)\\{}\quad \vdots \\a_{0}=(-1)^{n}a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}\end{cases}}}$

上式等同于韦达定理的叙述。

特例

n=2

设 ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ 是一元二次多项式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ 的两根，则由${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}}$有

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$

这个特殊情况除之前提到的证明方法，也可以直接用求根公式即 ${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$，${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$证明：

${\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+\left(-b\right)-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{\left(2a\right)^{2}}}={\frac {c}{a}}}$

在这个情况下，韦达定理的逆定理同样成立：给定一个一元二次多项式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$，如果有两个数 ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$，满足 ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$ 和 ${\displaystyle \,x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$，则 ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$就是多项式${\displaystyle \,ax^{2}+bx+c\,}$的两根。

n=3

设 ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ 是一元三次多项式 ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ 的三根，则

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}$

推广至环

韦达定理经常使用在讨论整环 R 上多项式，换言之多项式系数都落在 R 上。此时，分数 ${\displaystyle {\frac {a_{i}}{a_{n}}}}$ 在 R 中不见得有定义，除非 ${\displaystyle a_{n}}$ 本身是可逆元。但 ${\displaystyle {\frac {a_{i}}{a_{n}}}}$ 在 R 的分式环 K 中有定义，而根 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ 则在 K 的代数闭包 ${\displaystyle {\bar {K}}}$ 中有定义。特别的，如果 R 是整数环 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$，则 K 是有理数域 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$，${\displaystyle {\bar {K}}}$是复数域 ${\displaystyle \mathbb {C} }$。

如果多项式 P(x) 定义在一般非整环的交换环上，则韦达定理可能在两个地方出错。第一，${\displaystyle a_{n}}$ 可能不是零因子，因此不能出现在分母。第二 P(x) 可能不等于 ${\displaystyle a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}$。第一点算是显而易见，以下给出一个第二点的例子。在环 ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$ 中，多项式 ${\displaystyle P(x)=x^{2}-1}$ 有四个根 1、3、5、7，根数比多项式的次数还多。此外，如果随便取两根出来，例如 ${\displaystyle x_{1}=1}$，${\displaystyle x_{2}=3}$，会发现 ${\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}$，但是有时候如果根取的刚好，却又可能会有 ${\displaystyle P(x)=(x-1)(x-7)}$ 和 ${\displaystyle P(x)=(x-3)(x-5)}$。

历史

在 16 世纪，韦达发现了所有根都是正整数的版本，至于一般的版本 (根是实数)，可能首次由法国数学家 Albert Girard（英语：Albert Girard） 提出。Funkhouser 引用了18 世纪英国数学家查尔斯·赫顿（英语：Charles Hutton）的话写道^[1]

...[Girard 是] 理解关于各次方项系数的和与积公式的一般性学说的第一人。他是找到关于将任意方程式的根的次方加总的规则的第一人。

参考资料

1. (Funkhouser 1930)

• Hazewinkel, Michiel (编), Viète theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Funkhouser, H. Gray, A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1930, 37 (7): 357–365, JSTOR 2299273, doi:10.2307/2299273
• Vinberg, E. B., A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003, ISBN 0-8218-3413-4

• Djukić, Dušan; et al, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6

参见

• 数学主题

• 法兰西斯·韦达
• 对称多项式
• 韦达跳跃
• 天元术