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逻辑斯谛映射(英语:Logistic map)是种二次多项式的映射(递推关系式),是一个由简单非线性方程式产生混沌现象的经典范例。这种映射因生物学家Robert May在1976年发表的一篇论文而著名,[1]一定程度上是离散时间的种群/人口模型,类似于皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒的逻辑斯谛函数。[2]。逻辑斯谛映射实质上是逻辑斯谛函数的差分方程,其数学表达为:
其中
逻辑斯谛映射的方程旨在描述以下两个现象:
参数r通常取[0, 4]区间内的值,因此xn在[0, 1]上保持有界。r = 4的情景是dyadic映射及参数μ=2的帐篷映射的非线性变换。当r > 4时,种群数量会出现负值(该问题在更早前的同样表现出混沌动态的Ricker模型中不会出现)。也可在[−2, 0]的区间内取r值,该情形下xn有界,处于[−0.5, 1.5]之间。[3]
变化参数的值,其结果如下:
对于任一个值,最多只有一个稳定的极限环,若稳定极限环存在,几乎所有的点最后都会趋近极限[5]:13。若某一个值有一个稳定的极限环,可能也有无限个不同周期的不稳定极限。
这些情况可用分枝图表示,分枝图中的横轴是参数的数值,纵轴中显示大部分初值下,稳态可能的值,若最后数值会在2个值中震荡,分枝图上对应的数值就会有2点。若某特定值下,已无法明确的看到有几个对应的点,当时系统可能已经在混沌状态下。
分枝图有自相似的特性。若将分枝图中的部分展开,只取三个分支中的一个。其图形会好像是原分枝图缩放及扭曲后的结果。针对所有非混沌的参数都有此一特性。以此可以看出混沌和分形深入及明显的关系。
和其他混沌系统比较,逻辑斯谛映射较为简单,是一个说明混沌特性的很好的例子。简单来说,混沌就是对初始条件的高度灵敏度。是在3.57及4之间的大部分数值都可以使逻辑斯谛映射出现此一特性。对初始条件有高度灵敏度的常见原因是映射本身是对定义域的拉伸及折叠。逻辑斯谛映射的二次差分方程可视为是对于区间(0,1)拉伸及折叠的过程。
利用二维及三维的相图可以看出一些逻辑斯谛映射的特性。以的逻辑斯谛映射为例,二维相图为一抛物线,但是若用绘制三维相图,可看出进一步的结构,例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散.特别是位在斜率较大位置的点。
拉伸及折叠的结果使迭代的数列以指数形式发散(参照李亚普诺夫指数),可以用有混沌特性时,逻辑斯谛映射的复杂及不可预测性说明这一点。事实上,数列的指数发散说明了混沌和不可预测性之间的关系:初值微小的误差在迭代过程中会以指数成长的方式增加。因此当对于初始状态的信息中有微小的误差时.对未来状态的预测准确度也会随迭代次数增加而快速变差。
由于映象是限制在实数数线的一段范围内,其维度小于或等于1。依数值分析的结果,在r=3.5699456...时(刚开始混沌特性时),其关联维度为0.500 ± 0.005[6](Peter Grassberger,1983)、豪斯多夫维数大约是0.538[7],而分形维数为0.5170976...[6]。
有些混沌系统可对于其未来状态的可能性作准确的描述。若一个可能有混沌特性的动力系统存在吸引子,则存在一概率量测描述系统长期下,在吸引子各部分所花时间的比例。以的逻辑斯谛映射而言,起始状态在区间(0,1)中,而吸引子也在间(0,1)中,其概率量测对应参数的Β分布[8],其不变测度为。不可预期性和随机不同,不过在一些情形下这二很类似,而且即使对逻辑斯谛映射(或其他混沌系统)初值只有很少的信息,仍然可以针对长期的分布作某种程度的预测。
在及的特殊情形下,逻辑斯谛映射有解析解[9]。不过大部分情形下的通解只能以统计的方式预测[10]。 的解为[9][11]
其中初始条件参数是由求得。针对有理数的,有限次数的迭代后就会变成一个周期性的数列。不过几乎所有的都是无理数,此时不会重复,因此没有周期解。此解可以清楚的看出混沌的二个重要特征:拉伸及折叠。系数2n表示拉伸的指数成长,因此造成蝴蝶效应,也就是对初始值的高度灵敏性,而解中包括正弦函数的平方,使解折叠在[0, 1]的范围内。
的解为:
对于。此解没有混沌的特性。由于对于不包括不稳定固定点0在内的,当n趋近无限大时会趋近于零,因此会趋近稳定的固定点。
r = 4时,几乎所有的初值都会使逻辑斯谛映射出现混沌特性,不过也存在无限个初值会使逻辑斯谛映射最后呈周期性变化,而且对于所有正整数,都存在一初值使逻辑斯谛映射的周期为该正整数。可以利用逻辑斯谛映射和位元位移映射之间的关系来找出任何周期的循环。若x依照逻辑斯谛映射而y依照位元位移映射
则二个变数的关系如下:
位元位移映射其名称是因为当y以二进制表示时,映射会将二进制的数字左移一位。例如若数字是二进制的循环小数,循环节为001,则位元位移映射的序列为001001001... →010010010... →100100100... →001001001...,为周期为3的循环,循环节为010, 011, 100, 101, 110 时也会有类似情形,这些循环小数都可以变换为对应的分数,上例若以分数表示为:1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7。变换到r=4的逻辑斯谛映射后,为611260467... → .950484434... → .188255099... → .611260467...。其他周期为3的循环也可以变换为逻辑斯谛映射。依相同方式也可以找出在 位元位移映射下,任意周期的循环,再变换为逻辑斯谛映射。
不过几乎所有在区间[0, 1)的数字都是无理数,而初始值为无理数的位元位移映射没有循环的特性,因此对应的逻辑斯谛映射也没有循环的特性。
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