李亚普诺夫指数

在数学领域中，李亚普诺夫指数（Lyapunov exponent）或李亚普诺夫特征指数（Lyapunov characteristic exponent）用于量化动力系统中无限接近的轨迹之间的分离率。具体而言，相空间中初始间隔${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$的两条轨迹的分离率为（假定分离可按线性近似来处理）

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|\,}$

其中${\displaystyle \lambda }$即为李亚普诺夫指数。

当初始分离向量的方向不同时，其分离率也不同。因而存在李亚普诺夫指数谱（spectrum of Lyapunov exponents），其数量与相空间的维度相同。通常将其中最大的称为最大李亚普诺夫指数（Maximal Lyapunov exponent，简称MLE），因为它决定了动力系统的可预测性。正的MLE通常表明系统是混沌的（假定其他条件满足，如相空间的紧致性）。需要注意的是，任意初始分离向量一般包括了MLE所在方向的部分分量，由于其随指数增长的特征，其他分量的效果随着时间最终会被掩盖。

李亚普诺夫指数是以俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫的名字命名的。

最大李亚普诺夫指数

最大李亚普诺夫指数定义为

${\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }\lim _{\delta \mathbf {Z} _{0}\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {|\delta \mathbf {Z} (t)|}{|\delta \mathbf {Z} _{0}|}}.}$

极限${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}\to 0}$确保任何时间线性近似的可行性^[1]。

对离散时间系统（映射或迭代）${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$和以${\displaystyle x_{0}}$为起始的轨迹，上式可以转换成

${\displaystyle \lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|.}$

参考文献

• Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G. and Vattay G.Chaos: Classical and Quantum Niels Bohr Institute, Copenhagen 2005 – textbook about chaos available under Free Documentation License

• Freddy Christiansen and Hans Henrik Rugh. Computing Lyapunov spectra with continuous Gram–Schmidt orthonormalization. Nonlinearity. 1997, 10 (5): 1063–1072. Bibcode:1997Nonli..10.1063C. doi:10.1088/0951-7715/10/5/004. （原始内容存档于2006-04-25）.

• Salman Habib and Robert D. Ryne. Symplectic Calculation of Lyapunov Exponents. Physical Review Letters. 1995, 74 (1): 70–73. Bibcode:1995PhRvL..74...70H. PMID 10057701. arXiv:chao-dyn/9406010 . doi:10.1103/PhysRevLett.74.70.

• Govindan Rangarajan, Salman Habib, and Robert D. Ryne. Lyapunov Exponents without Rescaling and Reorthogonalization. Physical Review Letters. 1998, 80 (17): 3747–3750. Bibcode:1998PhRvL..80.3747R. arXiv:chao-dyn/9803017 . doi:10.1103/PhysRevLett.80.3747.

• X. Zeng, R. Eykholt, and R. A. Pielke. Estimating the Lyapunov-exponent spectrum from short time series of low precision. Physical Review Letters. 1991, 66 (25): 3229–3232. Bibcode:1991PhRvL..66.3229Z. PMID 10043734. doi:10.1103/PhysRevLett.66.3229.

• E Aurell, G Boffetta, A Crisanti, G Paladin and A Vulpiani. Predictability in the large: an extension of the concept of Lyapunov exponent. J. Phys. A: Math. Gen. 1997, 30 (1): 1–26. Bibcode:1997JPhA...30....1A. doi:10.1088/0305-4470/30/1/003.

• F Ginelli, P Poggi, A Turchi, H Chaté, R Livi, A Politi. Characterizing Dynamics with Covariant Lyapunov Vectors (PDF). Physical Review Letters. 2007, 99 (13): 130601 [2014-11-09]. Bibcode:2007PhRvL..99m0601G. PMID 17930570. arXiv:0706.0510 . doi:10.1103/PhysRevLett.99.130601. （原始内容 (PDF)存档于2008-10-31）.

1. Cencini, M.; et al. World Scientific , 编. Chaos From Simple models to complex systems. 2010. ISBN 978-981-4277-65-5.