相亲数

相亲数（Amicable numbers），又称亲和数、友爱数、友好数，指两个正整数中，彼此的全部正约数之和（本身除外）与另一方相等。毕达哥拉斯曾说：“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密。”

每一对亲和数都是过剩数配亏数，较小的是过剩数，较大的是亏数。

例如220与284：

• 220的全部正因数（除掉本身）相加是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
• 284的全部正因数（除掉本身）相加的和是：1+2+4+71+142=220

亲和数中可轻易推出，一方的全部正约数之和与另一方的全部正约数之和相等。(此叙述不可逆，不能用来判断是否为亲和数)

• 220的全部正约数之和是：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110+220 = 284+220 = 504
• 284的全部正约数之和是：1+2+4+71+142+284 = 220+284 = 504

前十个相亲数是：（220,284），（1184,1210），（2620,2924），（5020,5564），（6232,6368），（10744,10856），（12285,14595）， （17296,18416），（63020,76084）和（66928,66992）……（OEIS数列A259180）。 （另见 A002025和 A002046）

历史

• 320年左右，古希腊毕达哥拉斯发现的220与284，是人类认识的第一对相亲数．
• 约850年，阿拉伯数学家塔别脱·本·科拉就发现了相亲数公式，后来称为塔别脱·本·科拉法则。
• 1636年，费马发现了另一对相亲数：17296和18416。
• 1638年，笛卡儿也发现了一对相亲数：9363584和9437056。
• 欧拉也研究过相亲数这个课题。1750年，他一口气向公众抛出了60对相亲数：2620和2924，5020和5564，6232和6368，……，从而引起了轰动。
• 1866年，年方16岁的意大利青年巴格尼尼（并非小提琴演奏家、作曲家的帕格尼尼）发现1184与1210是仅仅比220与284稍为大一些的第二对相亲数。
• 目前，人们已找到了12,000,000多对相亲数。但相亲数是否有无穷多对，相亲数的两个数是否都是或同是奇数，或同是偶数，而没有一奇一偶等，这些问题还有待继续探索。

寻找方法

欧拉法则

对于正整数${\displaystyle m,n}$，${\displaystyle m<n}$，${\displaystyle a=2^{m}(2^{n-m}+1)-1}$，${\displaystyle b=2^{n}(2^{n-m}+1)-1}$，${\displaystyle c=2^{n+m}(2^{n-m}+1)^{2}-1}$。若${\displaystyle a,b,c}$均为素数，则${\displaystyle 2^{n}\times ab}$和${\displaystyle 2^{n}\times c}$是相亲数。这个法则能找出符合亲和数的数对${\displaystyle (m,n)=(1,2),(3,4),(6,7),(1,8),(29,40)}$，但${\displaystyle n<2500}$时没有其他符合的数对。

塔别脱·本·科拉法则

这是欧拉法则${\displaystyle m=n-1}$的特殊情况：第${\displaystyle n}$个塔别脱·本·科拉数${\displaystyle K_{n}=3\times 2^{n}-1}$。若${\displaystyle K_{n}}$、${\displaystyle K_{n-1}}$和${\displaystyle 3\times K_{2n-1}+2}$均为素数，则${\displaystyle 2^{n}K_{n}K_{n-1}}$和${\displaystyle 2^{n}\times 3\times K_{2n-1}+2}$是相亲数。

其他

• 在目前所有已知的情况下，相亲数皆同为偶数或同为奇数。目前不知道一奇一偶的相亲数是否存在，但若存在，则偶数必须为完全平方数或其两倍，且奇数也必须是完全平方数。
• 目前已知存在7对具有不同的最小素因数的相亲数。^[1]
• 在目前所有已知的情况下，相亲数皆具有质公约数。目前不知道是否存在互素的相亲数。若存在，两者乘积必大于10⁶⁷.^{[来源请求]}
• 1955年，埃尔德什·帕尔（PaulErdős）说明相亲数相对于正整数的密度为0。^[2]

参看

• 相亲数链（交连数）
• 高合成数
• 完全数
• 婚约数
• 丰数
• 亏数
• 梅森素数
• 半完全数
• 佩服数

延伸阅读

•  本条目包含来自公有领域出版物的文本: Chisholm, Hugh (编). Amicable Numbers. Encyclopædia Britannica (第11版). London: Cambridge University Press. 1911.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav. Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. 2004: 32–36. ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl 1079.11001.
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London: Penguin Group. 1987: 145–147.
• 埃里克·韦斯坦因. Amicable Pair. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Rule. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Euler's Rule. MathWorld.

1. Amicable pairs news. [2022-11-21]. （原始内容存档于2021-07-18）.
2. Erdős, Paul. On amicable numbers (PDF). Publicationes Mathematicae Debrecen. 1955, 4: 108–111. （原始内容存档 (PDF)于2022-10-09）.