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在数学中,艾森斯坦级数是一类可直接表成级数的模形式,由费迪南·艾森斯坦首创。对于一般的约化群,罗伯特·朗兰兹也发展了相应的理论。
固定整数 。对上半平面上的复数 ,定义艾森斯坦级数 为
此级数是上半平面上的全纯函数,此外它更是模群 的权 模形式。换言之,若 满足 ,则
模形式理论中的一个基本事实是:模群 的模形式俱可表为 与 的多项式。作为特例,以下说明如何将艾森斯坦级数递回地表成 的多项式。
置 ,遂有下述关系式:
在此 是二项式系数而 、。
函数 可以表示魏尔斯特拉斯 函数:
置 。由于艾森斯坦级数是模群的模形式,故有傅立叶展开式
其中的傅立叶系数 是
此处的 是伯努利数,是黎曼ζ函数,而 是 的正因数的 次幂和。
当 ,对 之和亦可化成兰伯特级数
有时也会考虑常数项等于一的艾森斯坦级数:
拉马努金给出了许多有趣的艾森斯坦级数关系式:定义
则有
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