舒尔分解

在线性代数中，舒尔分解或舒尔上三角化是一种矩阵分解方法，得名于德国数学家伊沙海·舒尔（英语：Issai Schur）。

定理的陈述

舒尔分解定理表明，如果A是n阶的复方阵，则存在n阶幺正矩阵Q，n阶上三角矩阵U，使得：^[1][2][3]

${\displaystyle A=QUQ^{H}}$

即任何一个n阶复方阵A酉相似于一个n阶上三角矩阵U。因为A，U相似，所以两者有相同的特征值，且相同特征值的代数重数也相同。又因U是上三角矩阵，所以U的对角元素实际上是A的所有特征值。

该定理表明，存在Cⁿ的一个线性子空间序列{0} = V₀ ⊂ V₁ ⊂ ... ⊂ V_n = Cⁿ，使得其中的每一个都是A（看成线性变换）的不变子空间。且存在Cⁿ（指定标准内积）的一组单位酉正交基，使得前i个基向量张成上述序列中第i个子空间。^[1]

定理的证明

以线性变换思想

把矩阵A看成是有限维酉空间Cⁿ上的线性变换，它有特征值λ，所对应的特征子空间为V_λ，令V_λ^⊥ 为它的正交补空间。分别取两个空间的一组单位正交基(Z₁，Z₂)，它们构成原空间的一组单位正交基，则线性变换A在这组基下的矩阵表出为：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}}$

而A₂₂又可以看成是V_λ^⊥上的线性变换，又可以重复上述过程。（本质上，A₂₂是A在商空间Cⁿ\V_λ上引入的线性变换。）所以最终可以找到Cⁿ的一组基，使得A在这组基下的矩阵为上三角矩阵。^[1][2]

以矩阵思想

上述证明过程也可以用矩阵的语言复述。对n阶矩阵采用数学归纳法:

1. k=1，显然命题成立。
2. 若任何一个n-1阶矩阵酉正交相似于一个上三角矩阵。则对一个n阶矩阵，它有特征值λ₁，对应特征向量β。将β扩充为Cⁿ的一组单位正交基，并排列成矩阵V₁，则有：

${\displaystyle V_{1}^{-1}AV_{1}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&A_{1}\end{bmatrix}}}$

根据归纳假设，存在n-1阶酉矩阵V₂和上三角矩阵T，使得：

${\displaystyle V_{2}^{-1}A_{1}V_{2}=T}$

所以有：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&A_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&T\end{bmatrix}}}$

即：

${\displaystyle (V_{1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}})^{-1}A(V_{1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}})={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&*\\0&T\end{bmatrix}}}$

令${\displaystyle U=V_{1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&V_{2}\end{bmatrix}}}$，显然它是酉矩阵。由归纳假设，原命题成立。^[4][3]

计算

给定矩阵的舒尔分解可以用QR计算法求出。换言之，为求解矩阵的舒尔分解，并没有必要求解其特征多项式的根。另一方面，通过求解一个多项式的伴随矩阵的舒尔分解，可以计算出它的所有根。类似地，通过舒尔分解，也可以计算给定矩阵的特征值。^[5]

广义舒尔分解

给定矩阵A和B，则存在酉矩阵Q、Z，上三角矩阵S、T，使得${\displaystyle A=QSZ^{-1}}$和${\displaystyle B=QTZ^{-1}}$同时成立。这被称为广义舒尔分解，有时也被称为QZ分解。^[2]

广义特征值问题${\displaystyle det(A-\lambda B)=0}$的解是S、T对应的对角元的比值，即${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}$。^[2]

参考文献

1. Horn, R.A. and Johnson, C.R. Matrix Analysis. Cambridge University Press. 1985. ISBN 0-521-38632-2.(Section 2.3 and further at p. 79)
2. Golub, G.H. and Van Loan, C.F. Matrix Computations 3rd. Johns Hopkins University Press. 1996. ISBN 0-8018-5414-8.(Section 7.7 at p. 313)
3. 《矩阵论》：第四章.第五节.Schur定理与正规矩阵
4. 丘维声. 《高等代数学习指导·上册》. 清华大学出版社. 2005: p352. ISBN 978-7-302-10975-4. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
5. Anderson, E.; Bai, Z.; Bischof, C.; Blackford, S.; Demmel, J.; Dongarra, J.; Du Croz, J.; Greenbaum, A.; Hammarling, S.; McKenney, A.; Sorensen, D. LAPACK Users' Guide Third. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 1999. ISBN 0-89871-447-8. 引文使用过时参数coauthors (帮助)