在数学分支线性代数之中,向量空间中一个向量集合的线性生成空间(linear span,也称为线性包 linear hull),是所有包含这个集合的线性子空间的交集,从而一个向量集合的线性生成空间也是一个向量空间。
Quick Facts 线性代数, 向量 ...
线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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给定域 K 上的向量空间 V,集合 S(不必有限)的生成空间定义为所有包含 S 的线性子空间 V 的交集 W,称 W 为由 S(或 S 中的向量)生成的子空间。
如果
是 V 的有限子集,则生成空间为
![{\displaystyle {\rm {span}}\left(S\right)={\rm {span}}\left(v_{1},...,v_{r}\right)=\left\{{\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{r}v_{r}\mid \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}\in \mathbf {K} }\right\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19789253c8b4f4af8f7cbb8e96ef9245f34fa40)
S 的生成空间也可定义为 S 中元素的所有有限线性组合组成的集合。因为容易验证:S 中向量的有限线性组合的集合是包含 S 的一个向量空间,反之任何包含 S 的向量空间必然都包含 S 中向量的有限组合,故两个定义是等价的。
如果 S 的生成空间是 V,则 S 称为 V 的生成集合(spanning set)。V 的一个生成集合不必是 V 的一组基,因其不必是线性无关的。但是,对给定向量空间的极小生成集合一定是一组基。换句话说,V 的生成集合是一组基当且仅当 V 的任何向量可以唯一的写成生成集合中一些元素的线性组合。
如果 V 是无限维向量空间,S 是无穷集合,则 S 中的无限个向量的线性组合(如果收敛的话)不一定属于 S 的生成空间。
- 实向量空间 R3 中 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是一个生成集合,这个生成集合事实上是一组基。这个空间的另一组生成集合 {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)} 不是一组基,因为它们不是线性独立的。
- 集合 {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)} 不是 R3 的生成集合;它的生成空间是 R3 中最后一个分量为零的向量组成的空间。
- 设 V={ (x,y,z) ∈R3 |x+y-z=0 },则 {(1,0,1), (0,1,1)} 是 V 的一个生成集合,也是一组基。
定理 1:向量空间 V 的非空集合 S 生成的子空间是 S 中向量的所有有限线性组合;
- 如注释中所说,这个定理如此熟知,以至有时也作为一个集合的生成空间的定义。
定理 2:设 V 是一个有限维向量空间,则 V 的任何生成集合 S 去掉一些向量(如果必要的话)可以简化为 V 的一组基。
- 取 V 任意一组基(有限集),将这组基表示为 S 中一些向量的有限组合,只用到 S 中有限个向量,这有限个向量的生成集合包含这组基,从而包含 V,故第一步可将 S 简化为有限集;如果 S 中向量不是线性无关的,则至少有一个向量能写成其他向量的组合,去掉这个向量剩下的也能生成 V。继续这个步骤直到剩下的向量集合线性无关,这便简化为一组基了。
- 这也说明当 V 是有限维时,一组基是极小生成集合。
- 假设
是向量空间 V 中 n 个向量,那么
![{\displaystyle {\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1})={\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n})\Longleftrightarrow v_{n}\in {\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0541382e612d9bb1f5fcd38b9be6252cb2dbf40d)
- n 个向量生成空间的维数不大于 n,等于 n 当且仅当这些向量线性无关。
- 假设
与
是向量空间
中两个集合,则有:
![{\displaystyle S\subset S'\Rightarrow {\rm {span}}(S)\subset {\rm {span}}(S');}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53b57ec8a080543235a50e47d16692cea40ea79c)
![{\displaystyle {\rm {span}}(S\cup S')={\rm {span}}(S)+{\rm {span}}(S').}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e98a3bfa4ab1aa2183030f9a3a3185e5c893352)