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按照歐幾里得的《幾何原本》構造的幾何學 来自维基百科,自由的百科全书
此条目没有列出任何参考或来源。 (2016年9月5日) |
欧几里得几何有时就指二维平面上的几何,即平面几何,本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何,高维的情形请参看欧几里得空间。
数学上,欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何,基于点线面公设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
其中公设五又称之为平行公设(Parallel Axiom),叙述比较复杂,这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。在高斯(F. Gauss, 1777年—1855年)的时代,公设五就备受质疑,俄罗斯数学家罗巴切夫斯基(Nikolay Ivanovitch Lobachevski)、匈牙利数学家波约(Bolyai)阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择,并非必然的几何真理,也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”,从而发现非欧几里得的几何学,即非欧几何(non-Euclidean geometry)。
欧几里得几何的传统描述是一个公理系统,通过有限的公理来证明所有的真命题。
欧几里得平面几何的五条公理(公设)是:
“ | 通过一个不在直线上的点,有且仅有一条不与该直线相交的直线。 | ” |
平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理,但都没有成功。19世纪,通过构造非欧几里得几何,说明平行公理是不能被证明的(若从上述公理体系中去掉平行公理,则可以得到更一般的几何,即绝对几何)。
从另一方面讲,欧几里得几何的五条公理(公设)并不完备。例如,该几何中的定理:在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造:以线段为半径,分别以线段的两个端点为圆心作圆,将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而,他的公理并不保证这两个圆必定相交。[来源请求]因此,许多公理系统的修订版本被提出,其中有希尔伯特公理。
欧几里得还提出了五个一般概念,也可以作为公理。当然,之后他还使用量的其他性质。
如今,欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法,而是通过解析几何。通过这种方法,可以像证明定理一样证明欧几里得几何(或非欧几里得几何)中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮,但绝对简练。
首先,定义点的集合为实数对的集合。给定两个点和,定义距离:
这就是欧几里得度量。所有其他概念,如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。例如通过点和的直线可以定义成点的集合满足