在数学 中,托勒密定理 是欧几里得几何学 中的一个关于四边形 的定理。托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,当且仅当四边形为圆内接四边形 ,两组和相同。或退化为直线 以取得(这时也称为欧拉定理 )。
狭义的托勒密定理也可以叙述为:若且仅若圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理实际上也可以看做一种判定圆内接四边形的方法。
一般的四边形中,
A
B
⋅
C
D
+
A
D
⋅
B
C
⩾
A
C
⋅
B
D
{\displaystyle AB\cdot CD+AD\cdot BC\geqslant AC\cdot BD}
设ABCD是圆内接四边形 。
在弦 BC上,圆周角 ∠BAC = ∠BDC,而在AB上,∠ADB = ∠ACB。
在AC上取一点K,使得∠ABK = ∠CBD; 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD,所以∠CBK = ∠ABD。
因此△ABK与△DBC相似 ,同理也有△ABD相似于△KBC。
因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD;
因此AK·BD = AB·CD,且CK·BD = BC·DA;
两式相加,得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
但AK+CK = AC,因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。即得证
用a、b、c、d分别表示四边形顶点 A、B、C、D的复数,则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数 恒等式 :
(
a
−
b
)
(
c
−
d
)
+
(
a
−
d
)
(
b
−
c
)
=
(
a
−
c
)
(
b
−
d
)
{\displaystyle (a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)}
,两边取模 ,运用三角不等式 得
‖
(
a
−
b
)
(
c
−
d
)
‖
+
‖
(
a
−
d
)
(
b
−
c
)
‖
≥
‖
(
a
−
c
)
(
b
−
d
)
‖
{\displaystyle \|(a-b)(c-d)\|+\|(a-d)(b-c)\|\geq \|(a-c)(b-d)\|}
。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。因此托勒密定理得证。
复数证明中的复数可以换成赋范向量空间 中的向量。这说明了定理中的四点不一定限于同一平面 。
西姆松定理 也是一个与四点共圆有关的定理。利用圆内接四边形边长之间的三角关系,可以将托勒密定理作为西姆松定理的推论[ 3] 。
西姆松定理说明:过一个三角形
A
B
C
{\displaystyle ABC}
外的一点
P
{\displaystyle P}
作它到三角形三边的垂线 ,设垂足分别是
L
,
N
,
M
{\displaystyle L,N,M}
(如左图),那么
L
,
N
,
M
{\displaystyle L,N,M}
这三个点在同一条直线上当且仅当
P
{\displaystyle P}
在三角形
A
B
C
{\displaystyle ABC}
的外接圆 上(也就是说
A
,
B
,
C
,
P
{\displaystyle A,B,C,P}
四点共圆)。
注意到由于
∠
P
L
B
{\displaystyle \angle PLB}
与
∠
P
N
B
{\displaystyle \angle PNB}
都是直角,
L
,
B
,
N
,
P
{\displaystyle L,B,N,P}
四点共圆,并且这个圆的直径就是
P
B
{\displaystyle PB}
。因此:
L
N
=
P
B
sin
∠
L
B
N
=
P
B
sin
∠
A
B
C
{\displaystyle LN=PB\sin \angle LBN=PB\sin \angle ABC}
而根据圆内弦长的关系,有:
A
C
=
2
R
sin
∠
A
B
C
{\displaystyle AC=2R\sin \angle ABC}
其中
R
{\displaystyle R}
为外接圆的半径。所以代入上式就可得到:
L
N
=
P
B
⋅
A
C
2
R
{\displaystyle LN={\frac {PB\cdot AC}{2R}}}
同理可得:
N
M
=
P
A
⋅
B
C
2
R
,
L
M
=
P
C
⋅
A
B
2
R
{\displaystyle NM={\frac {PA\cdot BC}{2R}},\qquad \quad LM={\frac {PC\cdot AB}{2R}}}
而在三角形
L
N
M
{\displaystyle LNM}
中,两边长之和大于第三边:
L
N
+
N
M
⩾
L
M
{\displaystyle LN+NM\geqslant LM}
所以有:
P
A
⋅
B
C
+
P
B
⋅
A
C
⩾
P
C
⋅
A
B
{\displaystyle PA\cdot BC+PB\cdot AC\geqslant PC\cdot AB}
等号当且仅当
L
,
N
,
M
{\displaystyle L,N,M}
共线,也就是
A
,
B
,
C
,
P
{\displaystyle A,B,C,P}
四点共圆的时候取得。这正是托勒密定理。[ 4]
(英文) Harold Scott Macdonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometry revisited . The Mathematical Association of America; 1ST edition. 1967. ISBN 978-0883856192 . ,p.42
R.A.约翰逊,《近代欧氏几何学》,第102-103页,原文如此