序列紧

在数学上, 若一个拓扑空间里，每个无穷序列都有收敛子序列，则称该拓扑空间序列紧（英语：sequentially compact）。 虽然对于度量空间，紧等价于序列紧，但是对于一般的拓扑空间来说，紧（英语：compact）和序列紧是两个不等价的性质。

例子和性质

实数轴上的标准拓扑不是序列紧的，例如 (s_n = n) 便是一个没有收敛子序列的序列。但由波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理可知所有${\displaystyle \mathbb {R} }$上的闭区间导出的子空间拓扑都是序列紧的。

对于度量空间，序列紧与紧等价。^[1] 然而，一般情况下，存在序列紧而非紧的拓扑空间，比如具有序拓扑的首个不可数序数，也存在紧而非序列紧的拓扑空间，比如由 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$ 多个单位闭区间组成的积空间。^[2]

有关概念

• 若拓扑空间 X 的任意无穷子集都有一个极限点在 X 中，则称 X 为聚点紧的。
• 若拓扑空间 X 的任意可数开覆盖都有一个有限子覆盖，则称 X 为可数紧的。

对于度量空间，序列紧、聚点紧、可数紧、紧都是互相等价的性质。^[3]

对于序列空间，序列紧与可数紧等价。^[4]

单点紧化的构想是，在拓扑空间中加入一点，然后要求所有无收敛子序列的序列都收敛到该额外的点。 ^[5]例如实数轴的单点紧化${\displaystyle \alpha \mathbb {R} }$，它令所有在标准拓扑不收敛的序列收敛至额外的点，该点又称为无穷远点。

相关条目

• 波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理

参考来源

1. Willard, 17G, p. 125.
2. Steen and Seebach, Example 105, pp. 125—126.
3. Munkres, p. 179-180.
4. Engelking, General Topology, Theorem 3.10.31
   K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E. Vaughan (editors), Encyclopedia of General Topology, Chapter d3 (by P. Simon)
5. Brown, Ronald, "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

参考书目

• Munkres, James. Topology 2nd. Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-181629-2.
• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Willard, Stephen. General Topology. Dover Publications. 2004. ISBN 0-486-43479-6.