驻点

此条目介绍的是驻点或者一个真实变量的实值函数的临界点。关于一般概念，请见“临界点 (数学)”。关于物理学上流体中速度为零的点，请见“滞点”。

驻点（英语：stationary point）或稳定点在数学，特别在微积分中是指函数在一点处的一阶导数为零，该点即函数的驻点。

y = x + sin(2x) 的图像
驻点（红色）与拐点（蓝色），这图像的驻点都是局部极大值或局部极小值。

y = x³ 的图像
原点(0,0)是驻点，但不是局部极值。

也就是说若 ${\displaystyle p}$ 为驻点则

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{p}=0\,}$

在这一点，函数的输出值停止增加或减少。

对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴即水平切线。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。

值得注意的是，一个函数的驻点不一定是这个函数的极值点^{[注 1]}；反过来，在某设定区域内，一个函数的极值点也不一定是这个函数的驻点^{[注 2]}，例如函数${\displaystyle f(x)=x^{3}}$。对于可微函数，极值点一定是驻点。

静态平衡系统

在分析力学里，虚功原理阐明，对于一个静态平衡系统，所有外力的作用，经过虚位移，所作的虚功，总合等于零，以方程式表达，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0\,}$；

其中，${\displaystyle \delta W\,}$是虚功，${\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,}$是第${\displaystyle i\,}$个外力，${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\,}$是对应于${\displaystyle \mathbf {F} _{i}\,}$的虚位移。

变换为以广义力${\displaystyle F_{i}\,}$和广义坐标${\displaystyle q_{i}\,}$表达，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}F_{i}\delta q_{i}=0\,}$；

假设这系统是保守系统，则每一个广义力都是一个标量的广义位势函数${\displaystyle V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,}$的对于其对应的广义坐标的导数：

${\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\,}$。

虚功与广义位势的关系为

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0\,}$。

所以，一个静态平衡系统的位势${\displaystyle V\,}$乃是个局域平稳值。注意到这系统只处于平稳状态。假设，要求这这系统处于稳定状态，则位势${\displaystyle V\,}$必须是个局域极小值。

欧拉-拉格朗日方程式

主条目：欧拉-拉格朗日方程式

在变分法里，欧拉-拉格朗日方程式是从其对应的泛函的平稳点推导出的一种微分方程式。设定

${\displaystyle \mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!}$，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}(x)=({\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x))\,\!}$，

${\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x),\ x)\,\!}$。

若${\displaystyle \mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!}$使泛函${\displaystyle J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)dx\,\!}$取得局部平稳值，则在区间${\displaystyle (a,\ b)\,\!}$内对于所有的${\displaystyle i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\,\!}$，欧拉-拉格朗日方程式成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=0\,\!}$。

注释

1. 考虑到这一点左右一阶导数符号不改变的情况
2. 考虑到边界条件

参见

• 最优化
• 费马引理
• 鞍点
• 不动点