单位元
集合中的特定元素,在以二元运算与其他元素结合时不改变其他元素 / 维基百科,自由的 encyclopedia
单位元(unit element[1])也称恒等元(identity element)、中立元(neutral element)、恒元,是集合里的一种特殊元素,与该集合里的二元运算有关。单位元和其他元素结合时,并不会改变那些元素。单位元在群和其他相关概念中都有使用。
![]() |
设为一带有一二元运算
的集合
(称为原群)。若
内有一元素
对S内所有元素a满足
,则
被称为左单位元;若满足
,则称为右单位元。而若
同时为左单位元及右单位元,则称为双边单位元,又简称为单位元。
对应加法的单位元称为加法单位元(通常被标为0),而对应乘法的单位元则称为乘法单位元(通常被标为1)。这一区分大多被用在有两个二元运算的集合上,比如环。
例子
More information
,
...
集合 | 运算 | 单位元 |
---|---|---|
实数 | +(加法) | 0 |
实数 | ·(乘法) | 1 |
实数 | 1(只为右单位元) | |
复数 | +(加法) | 0 |
复数 | ·(乘法) | 1 |
矩阵 | +(加法) | 零矩阵 |
方阵 | ·(乘法) | 单位矩阵 |
所有从集合M映射至其自身的函数 | 单位函数 | |
所有从集合M映射至其自身的函数 | ||
字串 | 串接 | 空字元串 |
扩展的实轴 | 最大值 | |
扩展的实轴 | 最小值 | |
集合M的子集 | M | |
集合 | ||
布尔逻辑 | ⊤(真值) | |
布尔逻辑 | ⊥(假值) | |
闭二维流形 | #(连通和) | |
只两个元素 |
* 定义为 |
Close
如最后一个例子所示,有多个左单位元是可能的,且事实上,每一个元素都可以是左单位元。同样地,右单位元也一样。但若同时存在有右单位元和左单位元,则它们会相同,且仅存在一个双边单位元。要证明这个,设为左单位元且
为右单位元,则
。特别的,不存在两个以上的单位元。若有两个单位元
和
,则
必同时等于
和
。
一个代数也可能没有单位元。最常见的例子为向量的内积和外积。前者缺乏单位元的原因在于,相乘的两个元素都会是向量,但乘积却会是个标量。而外积缺乏单位元的原因则在于,任一非零外积的方向必和相乘的两个向量相正交,因此不可能得出一个和原向量指向同方向的外积向量。