在数学中,主理想环是使得每个理想均可由单个元素生成的环。 此条目没有列出任何参考或来源。 (2021年6月17日) 如果一个主理想环同时也是整环,则称之主理想整环(常简写为 PID)。 整数环 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 是主理想域,更一般地说,欧几里德环恒为主理想环。 域上的(单变元)多项式环是主理想环。 高斯整数环 Z [ − 1 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} 是主理想环。 艾森斯坦整数环 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} 是主理想环,其中 ω 为任一非 1 {\displaystyle 1} 的三次单位根。 环 Z [ 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]} 非主理想环:可以证明理想 ( 2 , 5 ) {\displaystyle (2,{\sqrt {5}})} 无法由单个元素生成。