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三角学(英语:Trigonometry)是数学的一个分支,主要研究三角形,以及三角形中边与角之间的关系。三角学定义了三角函数,可以描述三角形边与角的关系,而且都是周期函数,可以用来描述周期性的现象。三角学在公元前三世纪时开始发展,最早是几何学的一个分支,广泛的用在天文量测中[1],三角学也是测量学的基础。
三角学的基础是平面三角学,研究平面上的三角形中边与角之间的关系,分为角的度量、三角函数与反三角函数、诱导公式、和与差的公式、倍角、半角公式、和差化积与积化和差公式、解三角形等内容,可能会是单独的一个科目或是在预科微积分教授,三角函数在纯数学及应用数学中的许多领域中出现,例如傅里叶分析及波函数等,是许多科技领域的基础。
三角学也包括球面三角学,研究球面上,由大圆的弧所包围成的球面三角形,位在曲率为正值常数的曲面上,是椭圆几何的一部分,球面三角学是天文学及航海的基础,也在测量学、制图学、结晶学、仪器学等方面有广泛的应用。负曲率曲面上的三角学则是双曲几何中的一部分。
苏美尔天文学家引入了角度测量,将一个圆分割为360度。[2]他们和之后的巴比伦人都在研究相似三角形各边之间的比例关系,并发现了其中一部分比例,但是并没有将其发展为一套系统的方法。古代努比亚人也使用了类似的方法。[3]古希腊人最早将三角学转变成一套系统学科。[4]
穆斯林天文学家巴塔尼引入了我们今天熟知的正弦、余弦、正切、余切等术语,并且提出了正切[注 1]和余切的概念。
明代末年,由于历法改革的需要,西学东渐中陆续引进了几何学、三角学等西方数学。这项工作仍在清朝继续进行,其中最重要的是由波兰传教士穆尼阁和薛凤祚所介绍的对数方法。薛凤祚所著《历学会通》的数学部分主要是传自穆尼阁的《比例对数表》(1653年)、《比例四线新表》和《三角算法》等各一卷。《比例对数表》和《比例四线新表》分别给出了1~10000的六位对数表和六位三角函数(正弦、余弦、正切、余切)对数表。书中把今天所说的“对数”称为“比例数”或“假数”,并简单解释了把乘除运算化为加减运算的道理。这是对数方法在中国的首次介绍。对数是17世纪最重要的发现之一,它有效地简化了繁重的计算工作。在对数、解析几何和微积分这三种当时西方最重要的数学方法中,也只有对数比较及时地传入了中国。《三角算法》所介绍的平面三角和球面三角知识,比《崇祯历书》中有关三角学的内容更丰富一些。如平面三角中包含有正弦定理、余弦定理、正切定理和半角定理等,且多是运用三角函数的对数进行计算。球面三角中增加半角公式、半弧公式、达朗贝尔公式和纳皮尔公式等。
如果三角形的一个角为90度,而另一个角的度数已知,那么第三个角的度数也就固定下来了,这是因为任何一个三角形三个角的度数之和总是180度。这样,两个锐角的度数之和为90度:它们互为余角。这样的三角形形状已经完全确定下来,它们是一组度数相同的相似三角形。在度数确定的情况下,每个边之间的比例也就随之确定,无论三角形大小。如果其中一个边的长度又为已知的话,那么其他两条边的长度也就确定。这些比例以的三角函数形式表示出来,其中、、分别带指三角形中对应三边的长度:
其中,斜边是指直角三角形中90度角所对的边;它是该三角形中最长的边,也是角A的一个邻边。对边是角A所对的一条边。
这些函数的倒数分别被称为余割(或cosec)、正割()和余切():
它们的反三角函数分别为arcsine、arccosine和arctangent。这些函数之间存在的数学关系被称为三角恒等式。
通过使用这些函数,可以回答有关任意三角形的所有问题,只需使用正弦定理和余弦定理。在已知两条边长以及它们夹角的度数,或是两个角的度数以及一条边长,或是知道三边长度后,使用这些法则可以计算出其他角和边。
上面的定义只是用于度数在0°到90°之间的角(0到弧度)。使用单位圆,可以将它们扩展到所有度数为正、负的角上(参见三角函数)。三角函数为周期函数,周期为360°(个弧度)。这意味着在这个区间内,它们的值会反复出现。正切和余切函数周期较短,为180°(个弧度)。
三角函数还可以使用非上述集合定义来描述,如使用微积分和无穷级数。采取这种定义,三角函数可以扩展到复数。其中,复数指数函数十分有用。
三角函数是最早使用数学用表的。这样的数学用表被纳入数学课本中,供学生查询数值和使用插值法得到更高精确度。计算尺在三角函数中有着特别的计量。如今的科学计算器已经配备有计算主要三角函数的功能,大多数电脑编程语言也提供函数库来计算三角函数。
一些有关三角函数的恒等式对于所有角都始终成立,被称为三角恒等式。有一些恒等式是对于同一角的不同三角函数间的转换。
恒等式是指那些无论给定值为多少都始终成立的等式。在三角函数中存在如下恒等关系:
对于任意三角形的正弦定理(又被称为“正弦法则”)公式如下[5]:p.110:
其中,R是三角形外接圆的半径长度:
另一个有关于正弦的法则可以用来计算三角形的面积。在给定两条边的长度以及它们所夹角的角度,该三角形的面积为:
任意三角形的余弦定理(又被称为余弦方程式、余弦法则),是毕氏定理的一个扩展[5]:p.112 :
或者可以写作:
正切定理如下:
欧拉公式定义,对于任意的,都有,于是产生了如下的对于e和虚数单位i的数学分析恒等式:
角度转换公式也称为和角公式或是和差公式,是有关二角和或差的三角函数的公式。
二倍角公式可以利用二角相等时的和角公式求得。
利用和角公式也可以推导三倍角公式、四倍角公式等。
半角公式可以利用余弦函数的二倍角公式求得。