正定函数

此条目介绍的是和正定矩阵有关的正定函数。关于其他的正定函数，请见“正定函数 (实值连续可微函数)”。

在数学上，复值域函数的正定函数是和正定矩阵有关的特质。

令${\displaystyle \mathbb {R} }$是实数集合，${\displaystyle \mathbb {C} }$为复数集合。

函数${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$称为半正定，若针对所有实数x₁, …, x_n， n × n 矩阵

${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})}$

都是半正定矩阵^{[来源请求]}。

依照定义，半正定矩阵（像是${\displaystyle A}$）会是埃尔米特矩阵，因此f(−x)是f(x))的共轭复数。

若上述矩阵改为正定矩阵、半负定矩阵及负定矩阵，则函数则为正定函数、半负定函数及负定函数。

举例

若${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$是实内积空间，则${\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}$对于每一个${\displaystyle y\in X}$是正定：针对所有${\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}$，以及所有${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$，可得

${\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}$

正定函数的非负线性组合也是正定函数，像是余弦函数是上述函数的非负线性组合，因此是正定的：

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).}$

若有正定函数${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$，以及向量空间${\displaystyle X}$，可以建立正定函数${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$：选择线性函数 ${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$，并且定义${\displaystyle f^{*}:=f\circ \phi }$. 则

${\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,}$

其中${\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}$，而在${\displaystyle \phi }$线性时，每一个${\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}$都是不同的^[1]。

Bochner定理

主条目：Bochner定理（英语：Bochner's theorem）

正定函数也出现在傅里叶变换的理论中，可以看出一个函数f正定就是可以成为在函数g（且g(y) ≥ 0）在实数线上傅里叶变换的充份条件。

反过来的结果就是Bochner定理（英语：Bochner's theorem），提到在实数线上的连续正定函数是正测度的傅里叶变换^[2]。

应用

在统计学（特别是贝叶斯统计）里，此定理常用在实函数中，一般来说，会在${\displaystyle R^{d}}$里选几个点，针对其标量值进行n个标量的量测，若要量测结果有高度相关性，这些点需要互相靠近。实际上，必须小心确保所得的共变异数矩阵（n × n矩阵）恒为正定矩阵。有一个作法是定义一个相关矩阵，再乘以标量，得到协方差矩阵，所得的一定是正定矩阵。Bochner定理表示，若二个点的相关系数只会随其距离而变化（也就是距离的函数f），则函数f一定会是正定函数，以确保共变异数矩阵A是正定的。

在此context下，一般不会用傅里叶变换，而是称f(x)是对称几率密度函数（PDF）的特征函数。

扩展

主条目：群上的正定函数（英语：Positive-definite function on a group）

可以在局部紧阿贝尔拓朴群定义正定函数，Bochner定理可以扩展到此context。群上的正定函数会出自然的出现在希尔伯特空间上群的表示论里（也就是酉表示（英语：unitary representation）的理论）。

参见

• 正定 (消歧义)#数学
• 正定核（英语：Positive-definite kernel）

脚注

1. Cheney, Elliot Ward. A course in Approximation Theory. American Mathematical Society. 2009: 77–78 [3 February 2022]. ISBN 9780821847985.
2. Bochner, Salomon. Lectures on Fourier integrals. Princeton University Press. 1959. 含有内容需登入查看的页面 (link)

参考

• Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups, GTM, Springer Verlag.
• Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994
• Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.

外部链接