超立方体堆砌

在四维欧几里得几何空间中，超立方体堆砌（Tesseractic Honeycomb）^[1]是三种正四维空间堆砌（亦称为填充、镶嵌或蜂巢体）之一，由超立方体堆砌而成。它亦可被看作是五维空间中由无穷多个超立方体胞组成的二胞角为180°的五维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是五维的多胞体。

超立方体堆砌
一个3x3x3x3红蓝棋盘超立方体堆砌的透视投影。|220px]]
类型	正四维堆砌
家族	立方形堆砌
维度	4
对偶多胞形	自身对偶
类比	立方体堆砌
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{4,3,3,4} t0,4{4,3,3,4} {4,3,31,1} {4,4}2 {4,3,4}x{∞} {4,4}x{∞}2 {∞}4
性质
四维胞	{4,3,3}
胞	{4,3}
面	{4}
欧拉示性数	0
组成与布局
棱图	8 {4,3}
顶点图	16 {4,3,3}
对称性
考克斯特群	${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$, [4,3,3,4] ${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$, [4,3,31,1]
特性
点可递、 边可递、 面可递、 胞可递
查 论 编

超立方体堆砌在施莱夫利符号中，以{4,3,3,4}表示，透过超立方体胞填密4维空间构成^[2]。其顶点图是一个正十六胞体，在每单位立方中，每相邻的两个超立方体胞有四个正方形相遇、八个边相遇、顶点则有16个相遇。超立方体堆砌是平面正方形镶嵌的类比、也是三维空间立方体堆砌在四维空间的类比^[3]，他们的形式皆为{4,3,...,3,4}^[4]，为立方形堆砌家族的一部分，在这个家庭的镶嵌都是自身对偶。

4 sources

坐标

此蜂巢体（即该堆砌的整体）的顶点皆位于四维空间中的整数点(i,j,k,l)上，对所有的i,j,k,l皆为超立方体边长的整数倍^[5]，因此边长为1超立方体堆砌也可以视为四维空间中的坐标网格。

1 sources

结构

超立方体堆砌有许多不同的Wythoff结构。最对称的形式是施莱夫利符号{4,3,3,4}表示正图形，另一种形式是有两种超立方体交替，有如棋盘一般，在施莱夫利符号中用{4,3,3^1,1}表示。最低的对称性Wythoff结构是在每个顶点附近有16个棱柱形，其施莱夫利符号表示为{∞}⁴。其可利用截胞（Sterication）来构造。

相关多面体和镶嵌

考克斯特群[4,3,3,4]、产生了31个排列均匀的镶嵌，21具有独特的对称性和20具有独特的几何形状。扩展超立方体堆砌（也被称为截胞超立方体堆砌）其形状在几何上与超立方体堆砌相同。

扩展 对称群	扩展 标记	阶	蜂巢体 （堆砌）
[4,3,3,4]:		×1	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
[[4,3,3,4]]		×2	(1), (2), (13), 18 (6), 19, 20
[(3,3)[1+,4,3,3,4,1+]] = [(3,3)[31,1,1,1]] = [3,4,3,3]	= =	×6	14, 15, 16, 17

参考文献

1. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
2. Quaternionic modular groups （页面存档备份，存于互联网档案馆） Submitted by C. DavisDedicated to the memory of John B. Wilker [2014-4-27]
3. Barnes, John. "The Fourth Dimension." Gems of Geometry. Springer Berlin Heidelberg, 2009. 57-81.
4. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
5. Klitzing, Richard. test(tesseractic tetracomb). bendwavy.org. [2014-04-27].

• Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs) - Model 1
• Klitzing, Richard. 4D Euclidean tesselations. bendwavy.org. x∞o x∞o x∞o x∞o, x∞x x∞o x∞o x∞o, x∞x x∞x x∞o x∞o, x∞x x∞x x∞x x∞o,x∞x x∞x x∞x x∞x, x∞o x∞o x4o4o, x∞o x∞o o4x4o, x∞x x∞o x4o4o, x∞x x∞o o4x4o, x∞o x∞o x4o4x, x∞x x∞x x4o4o, x∞x x∞x o4x4o, x∞x x∞o x4o4x, x∞x x∞x x4o4x, x4o4x x4o4x, x4o4x o4x4o, x4o4x x4o4o, o4x4o o4x4o, x4o4o o4x4o, x4o4o x4o4o, x∞x o3o3o *d4x, x∞o o3o3o *d4x, x∞x x4o3o4x, x∞o x4o3o4x, x∞x x4o3o4o, x∞o x4o3o4o, o3o3o *b3o4x, x4o3o3o4x, x4o3o3o4o - test - O1