对角矩阵

对角矩阵（英语：diagonal matrix）是一类除主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。因此若n阶方块矩阵${\displaystyle \mathbf {D} }$ = (d_i,j)符合以下性质：

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵
向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积（向量积 · 七维向量积） · 内积（数量积） · 二重向量 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 克罗内克积 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
查 论 编

${\displaystyle d_{i,j}=0{\mbox{ if }}i\neq j\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}}$

则矩阵${\displaystyle \mathbf {D} }$为对角矩阵。

例子

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}}$

均为对角矩阵

矩阵运算

加法

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}&&&\\&a_{2}+b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}}$

乘法

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&&&\\&a_{2}b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}}$

逆矩阵

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}a_{1}^{-1}&&&\\&a_{2}^{-1}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}^{-1}\end{bmatrix}}}$ 当且仅当 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$ 均不为零。

性质

• 单位矩阵 ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$ 及零矩阵恒为对角矩阵。
• 对角矩阵是对称矩阵、上三角矩阵及下三角矩阵。
• (定义)若对角矩阵主对角线上的元素都相等，则又称其为数量矩阵。(性质)数量矩阵可表示为单位矩阵及一个系数 ${\displaystyle \lambda }$ 的乘积 ${\displaystyle \lambda \mathbf {I} _{n}}$；单位矩阵和零矩阵可以被视作为特殊的数量矩阵。
• 对角矩阵 ${\displaystyle {\text{diag}}\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}$ 的特征值为 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$，其特征向量为单位向量 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$。
• 对角矩阵 ${\displaystyle {\text{diag}}\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}$ 的行列式为其特征值的乘积，即 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}}$。

方阵与对角矩阵相似的充分必要条件

${\displaystyle n}$阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：

• ${\displaystyle n}$阶方阵存在${\displaystyle n}$个线性无关的特征向量
  • 推论：如果这个${\displaystyle n}$阶方阵有${\displaystyle n}$阶个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵
• 如果${\displaystyle n}$阶方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数

参考

• 三角矩阵
• 对角优势矩阵