吉洪诺夫正则化

吉洪诺夫正则化得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫，是在自变量高度相关的情景下估计多元回归模型系数的方法。^[1]它已被用于许多领域，包括计量经济学、化学和工程学。^[2]吉洪诺夫正则化为非适定性问题的正则化中最常见的方法。在统计学中，本方法被称为脊回归或岭回归（ridge regression）；在机器学习领域则称为权重衰减或权值衰减（weight decay）。因为有不同的数学家独立发现此方法，此方法又称做吉洪诺夫－米勒法（Tikhonov–Miller method）、菲利浦斯－图米法（Phillips–Twomey method）、受限线性反演（constrained linear inversion method），或线性正规化（linear regularization）。此方法亦和用在非线性最小二乘法（英语：Non-linear_least_squares）的莱文贝格－马夸特方法相关。它对于缓解线性回归中的多重共线性问题特别有用，这常见于有大量参数的模型中。^[3]总的来说，这种方法提高了参数估计的效率，但也有可容忍的偏差（见偏差-方差权衡）。^[4]

该理论于1970年由Hoerl与Kennard发表在《技术计量学》上的文章《岭回归：非正交问题的偏估计》及《岭回归：非正交问题中的应用》中首次提出。^[5][6][1] This was the result of ten years of research into the field of ridge analysis.^[7]

岭回归是通过创建岭回归估计量（RR）实现的。当线性回归模型具有多重共线（高度相关）的自变量时，岭回归对于最小二乘估计的不精确性是一种可能的解决方案。这提供了更精确的岭参数估计，因为它的方差和均方估计量通常小于先前推导的最小二乘估计量。^[8][2]

当求解超定问题（即${\displaystyle A_{m\times n}x=b,m>n}$）时， 矩阵${\displaystyle A}$ 的协方差矩阵 ${\displaystyle A^{H}A}$ 奇异或接近奇异时，利用最小二乘方法求出的结果 ${\displaystyle {\hat {x}}_{LS}=(A^{H}A)^{-1}A^{H}b}$ 会出现发散或对${\displaystyle x}$ 不合理的逼近。为了解决这一问题，吉洪诺夫于1963年提出了利用正则化项修改最小二乘的代价函数的方法，修改后的代价函数如下：

${\displaystyle J(x)={\frac {1}{2}}(\lVert Ax-b\rVert _{2}^{2}+\lambda \lVert x\rVert _{2}^{2})}$

式中 ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ 称为正则化参数^[9]，这种方法被称为吉洪诺夫正则化。

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概览

在最简单的情况下，向主对角线添加正元素可以缓解近奇异矩量矩阵${\displaystyle (\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} )}$问题，减少条件数。类似于最小二乘估计量，简单岭估计量可定义为

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{R}=(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} +\lambda \mathbf {I} )^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} }$

其中${\displaystyle \mathbf {y} }$是回归子，${\displaystyle \mathbf {X} }$是设计矩阵，${\displaystyle \mathbf {I} }$是单位矩阵，岭参数${\displaystyle \lambda \geq 0}$则是矩量矩阵对角线的恒定位移。^[10]可以证明这个估计量是约束为${\displaystyle \beta ^{\mathsf {T}}\beta =c}$的最小二乘问题的解，可表达为拉格朗日形式：

${\displaystyle \min _{\beta }\,(\mathbf {y} -\mathbf {X} \beta )^{\mathsf {T}}(\mathbf {y} -\mathbf {X} \beta )+\lambda (\beta ^{\mathsf {T}}\beta -c)}$

其说明，${\displaystyle \lambda }$不过是约束的拉格朗日乘数。^[11]通常要根据启发式准则选择${\displaystyle \lambda }$，以便不完全满足约束。特别是在约束${\displaystyle \lambda =0}$，即非约束约束（non-binding constrain），岭估计量退化为普通最小二乘法。下面讨论一种更通用的吉洪诺夫正则化方法。

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历史

吉洪诺夫正则化是在许多不同背景下独立发明的。 安德烈·吉洪诺夫^{[12][13][14][15][16]}和David L. Phillips最早使用了这种方法。^[17] 有限维情形由采用统计方法的Arthur E. Hoerl^[18]和Manus Foster完成，后者将其解释为克里金法滤子。^[19]自Hoerl之后，这种方法在统计学文献中被称为岭回归，^[20]以沿单位矩阵对角线的形状命名。

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吉洪诺夫正则化

假设对已知矩阵${\displaystyle A}$和向量${\displaystyle \mathbf {b} }$，我们希望找到向量${\displaystyle \mathbf {x} }$使^{[需要解释]}

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} .}$

标准方法是普通最小二乘法线性回归。^{[需要解释]}但若没有${\displaystyle \mathbf {x} }$满足方程或超过一个${\displaystyle \mathbf {x} }$满足（即解不唯一），则待研究问题为不适定问题，普通最小二乘估计会导致方程组过定或欠定。大多数现实世界的现象在前向问题中都具有低通滤性质^{[需要解释]}，其中${\displaystyle A}$将${\displaystyle \mathbf {x} }$映射到${\displaystyle \mathbf {b} }$。因此在解决逆问题时，逆映射作为高通滤波器，具有放大噪声的不良趋势（特征值/奇异值在逆映射中最大，在正映射中最小）。此外，普通最小二乘隐式地消除了位于${\displaystyle A}$的零空间的${\displaystyle \mathbf {x} }$的重建版本的每个元素，而非允许将模型用作${\displaystyle \mathbf {x} }$的先验。 普通最小二乘寻找最小化残差平方和，可以紧凑地写作

${\displaystyle \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|_{2}^{2},}$

其中${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$是欧几里得范数。

为优先选择具有所需性质的特定解，可在最小化中包含正则化项：

${\displaystyle \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|_{2}^{2}+\|\Gamma \mathbf {x} \|_{2}^{2}}$

其中吉洪诺夫矩阵${\displaystyle \Gamma }$需要适当选取，许多时候选为单位矩阵的标量倍数（${\displaystyle \Gamma =\alpha I}$），并优先考虑范数较小的解；这叫做L₂正则化。^[21]这之外，若认为基础向量几乎连续，则可使用高通运算（如递推关系式或加权离散傅里叶变换）以实现平滑。这种正则化改进了问题条件，从而实现了直接的数值求解。显式解表示为${\displaystyle {\hat {x}}}$，是这样得到：

${\displaystyle {\hat {x}}=(A^{\top }A+\Gamma ^{\top }\Gamma )^{-1}A^{\top }\mathbf {b} .}$

正则化的效果可能因矩阵${\displaystyle \Gamma }$的尺度而异。若择${\displaystyle \Gamma =0}$，如(A^TA)⁻¹存在，则简化为非正则化最小二乘解。

除线性回归外，L₂正则化还有许多应用场景，如逻辑斯谛回归或支持向量机分类，^[22]以及矩阵分解。^[23]

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广义吉洪诺夫正则化

对于${\displaystyle x}$和数据误差的多元常态分布，c可以应用变量的变换来简化上述情况。等价地，可以寻求最小化${\displaystyle x}$：

${\displaystyle \|Ax-b\|_{P}^{2}+\|x-x_{0}\|_{Q}^{2},}$

其中${\displaystyle \|x\|_{Q}^{2}}$表示加权范数平方${\displaystyle x^{\top }Qx}$（比较马哈拉诺比斯距离）。在贝叶斯解释中，${\displaystyle P}$是${\displaystyle b}$的逆协方差矩阵；${\displaystyle x_{0}}$是${\displaystyle x}$的期望；${\displaystyle Q}$是${\displaystyle x}$的逆协方差矩阵。吉洪诺夫矩阵为矩阵${\displaystyle Q=\Gamma ^{\top }\Gamma }$的分解（如科列斯基分解），可视作白化变换器。

这个推广问题有最优解${\displaystyle x^{*}}$，可以使用公式显式地写为

${\displaystyle x^{*}=(A^{\top }PA+Q)^{-1}(A^{\top }Pb+Qx_{0}),}$

或等效地，当Q非空：

${\displaystyle x^{*}=x_{0}+(A^{\top }PA+Q)^{-1}(A^{\top }P(b-Ax_{0})).}$

拉夫连季耶夫正则化

有时可以避免使用${\displaystyle A^{\top }}$，这由米哈伊尔·拉夫连季耶夫指出。^[24]例如，若${\displaystyle A}$是对称正定矩阵，即${\displaystyle A=A^{\top }>0}$，则其逆${\displaystyle A^{-1}}$可以用来在广义吉洪诺夫正则化中构造加权范数平方${\displaystyle \|x\|_{P}^{2}=x^{\top }A^{-1}x}$，则有最小化

${\displaystyle \|Ax-b\|_{A^{-1}}^{2}+\|x-x_{0}\|_{Q}^{2}}$

或等价地由常数项，

${\displaystyle x^{\top }(A+Q)x-2x^{\top }(b+Qx_{0})}$.

该最小化问题有最优解${\displaystyle x^{*}}$，可以紧凑地写作公式

${\displaystyle x^{*}=(A+Q)^{-1}(b+Qx_{0})}$,

是广义吉洪诺夫问题的解，其中${\displaystyle A=A^{\top }=P^{-1}}$。

拉夫连季耶夫正则化对原吉洪诺夫正则化有利，因为拉夫连季耶夫矩阵${\displaystyle A+Q}$的条件数比吉洪诺夫矩阵${\displaystyle A^{\top }A+\Gamma ^{\top }\Gamma }$小。

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希尔伯特空间中的正则化

典型的离散线性非适定问题由积分方程的离散化引起，可以在原始的无穷维背景中实现吉洪诺夫正则化。上面，我们可以将${\displaystyle A}$解释为希尔伯特空间上的紧算子，${\displaystyle x}$、${\displaystyle b}$为${\displaystyle A}$的域与范围上的元素。${\displaystyle A^{*}A+\Gamma ^{\top }\Gamma }$是自伴随有界可逆运算。

与奇异值分解和维纳滤波器的关系

有${\displaystyle \Gamma =\alpha I}$这个最小二乘解可用奇异值分解以特殊的方式分析。给定奇异值分解

${\displaystyle A=U\Sigma V^{\top }}$

，奇异值${\displaystyle \sigma _{i}}$，则吉洪诺夫正则解可表为

${\displaystyle {\hat {x}}=VDU^{\top }b,}$

其中${\displaystyle D}$的对角值为

${\displaystyle D_{ii}={\frac {\sigma _{i}}{\sigma _{i}^{2}+\alpha ^{2}}}}$

其余地方都是0。这表明吉洪诺夫参数对正则化问题条件数的影响。对于广义情况，可以使用广义奇异值分解推导出类似的表示。^[25]

最后，其与维纳滤波有关：

${\displaystyle {\hat {x}}=\sum _{i=1}^{q}f_{i}{\frac {u_{i}^{\top }b}{\sigma _{i}}}v_{i},}$

其中维纳权为${\displaystyle f_{i}={\frac {\sigma _{i}^{2}}{\sigma _{i}^{2}+\alpha ^{2}}}}$；${\displaystyle q}$是${\displaystyle A}$的秩。

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确定吉洪诺夫因子

最佳正则化参数${\displaystyle \alpha }$一般未知，在实践中常常临时确定。一种可能的方法依赖于下面描述的贝叶斯解释。其他方法包括偏差原理、交叉验证、L曲线法、^[26]约束最大似然法和无偏预测风险估计。Grace Wahba证明，这种最优参数用留一交叉验证最小^[27][28]

${\displaystyle G={\frac {\operatorname {RSS} }{\tau ^{2}}}={\frac {\|X{\hat {\beta }}-y\|^{2}}{[\operatorname {Tr} (I-X(X^{T}X+\alpha ^{2}I)^{-1}X^{T})]^{2}}},}$

其中${\displaystyle \operatorname {RSS} }$是残差平方和，${\displaystyle \tau }$是自由度。

用前面的SVD分解，可以简化上述表达式：

${\displaystyle \operatorname {RSS} =\left\|y-\sum _{i=1}^{q}(u_{i}'b)u_{i}\right\|^{2}+\left\|\sum _{i=1}^{q}{\frac {\alpha ^{2}}{\sigma _{i}^{2}+\alpha ^{2}}}(u_{i}'b)u_{i}\right\|^{2},}$

${\displaystyle \operatorname {RSS} =\operatorname {RSS} _{0}+\left\|\sum _{i=1}^{q}{\frac {\alpha ^{2}}{\sigma _{i}^{2}+\alpha ^{2}}}(u_{i}'b)u_{i}\right\|^{2},}$

；

${\displaystyle \tau =m-\sum _{i=1}^{q}{\frac {\sigma _{i}^{2}}{\sigma _{i}^{2}+\alpha ^{2}}}=m-q+\sum _{i=1}^{q}{\frac {\alpha ^{2}}{\sigma _{i}^{2}+\alpha ^{2}}}.}$

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与概率表述的关系

逆问题的概率公式引入了（当所有不确定量都为正态量时）表示模型参数先验不确定性的协方差矩阵${\displaystyle C_{M}}$，以及表示观测参数不确定性的协方差矩阵${\displaystyle C_{D}}$。^[29]当它们都是对角各向同性矩阵（${\displaystyle C_{M}=\sigma _{M}^{2}I}$），且${\displaystyle C_{D}=\sigma _{D}^{2}I}$，则逆理论方程简化为上述方程，且${\displaystyle \alpha ={\sigma _{D}}/{\sigma _{M}}}$。

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贝叶斯解释

主条目：核正则化的贝叶斯解释

虽然选择这个正则化问题的解可能看起来是人为的，而且矩阵${\displaystyle \Gamma }$似乎相当武断，但从贝叶斯的角度来看，这个过程是合理的。^[30]注意，不适定问题必须引入额外假设才能得到唯一解。在统计学中，${\displaystyle x}$的先验分布有时被认为是多元常态分布。为简单起见，此处做出以下假设：均值为零；组分独立；组分标准差均为${\displaystyle \sigma _{x}}$。数据也受误差影响，并且假设${\displaystyle b}$中的误差独立，均值为零，标准差为${\displaystyle \sigma _{b}}$。在这些假设下，根据贝叶斯定理，吉洪诺夫正则化解是给定数据和${\displaystyle x}$的先验分布的最可能的解。^[31]

若正态性假设被同方差和无关误差假设代替，且若假设均值仍是零，则高斯-马尔可夫定理意味着解是最小 无偏线性估计量。^[32]

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另见

• Lasso算法是统计学中另一种正则化方法。
• 弹性网络正则化
• 矩阵正则化

注释

参考文献

1. Hilt, Donald E.; Seegrist, Donald W. Ridge, a computer program for calculating ridge regression estimates. 1977 [2023-09-24]. doi:10.5962/bhl.title.68934. （原始内容存档于2023-02-10）.^{[页码请求]}
2. Gruber, Marvin. Improving Efficiency by Shrinkage: The James--Stein and Ridge Regression Estimators. CRC Press. 1998: 2 [2023-09-24]. ISBN 978-0-8247-0156-7. （原始内容存档于2022-05-10）.
3. Kennedy, Peter. A Guide to Econometrics Fifth. Cambridge: The MIT Press. 2003: 205–206. ISBN 0-262-61183-X.
4. Gruber, Marvin. Improving Efficiency by Shrinkage: The James–Stein and Ridge Regression Estimators. Boca Raton: CRC Press. 1998: 7–15. ISBN 0-8247-0156-9.
5. Hoerl, Arthur E.; Kennard, Robert W. Ridge Regression: Biased Estimation for Nonorthogonal Problems. Technometrics. 1970, 12 (1): 55–67. JSTOR 1267351. doi:10.2307/1267351.
6. Hoerl, Arthur E.; Kennard, Robert W. Ridge Regression: Applications to Nonorthogonal Problems. Technometrics. 1970, 12 (1): 69–82. JSTOR 1267352. doi:10.2307/1267352.
7. Beck, James Vere; Arnold, Kenneth J. Parameter Estimation in Engineering and Science. James Beck. 1977: 287 [2023-09-24]. ISBN 978-0-471-06118-2. （原始内容存档于2022-04-26）.
8. Jolliffe, I. T. Principal Component Analysis. Springer Science & Business Media. 2006: 178 [2023-09-24]. ISBN 978-0-387-22440-4. （原始内容存档于2022-04-18）.
9. Tikhonov A.N. Solution of Incorrectly Formulated Problems and the Regularization Method. Soviet Mathematics Doklady. 1963, 4: 1035–1038.
10. 关于实践中${\displaystyle \lambda }$的选择，参Khalaf, Ghadban; Shukur, Ghazi. Choosing Ridge Parameter for Regression Problems. Communications in Statistics – Theory and Methods. 2005, 34 (5): 1177–1182. S2CID 122983724. doi:10.1081/STA-200056836.
11. van Wieringen, Wessel. Lecture notes on ridge regression. 2021-05-31. arXiv:1509.09169  [stat.ME].
12. Tikhonov, Andrey Nikolayevich. Об устойчивости обратных задач [On the stability of inverse problems]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1943, 39 (5): 195–198. （原始内容存档于2005-02-27）.
13. Tikhonov, A. N. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1963, 151: 501–504.. Translated in Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method. Soviet Mathematics: 1035–1038.
14. Tikhonov, A. N.; V. Y. Arsenin. Solution of Ill-posed Problems. Washington: Winston & Sons. 1977. ISBN 0-470-99124-0.
15. Tikhonov, Andrey Nikolayevich; Goncharsky, A.; Stepanov, V. V.; Yagola, Anatolij Grigorevic. Numerical Methods for the Solution of Ill-Posed Problems. Netherlands: Springer Netherlands. 30 June 1995 [9 August 2018]. ISBN 079233583X. （原始内容存档于2021-06-20）.
16. Tikhonov, Andrey Nikolaevich; Leonov, Aleksandr S.; Yagola, Anatolij Grigorevic. Nonlinear ill-posed problems. London: Chapman & Hall. 1998 [9 August 2018]. ISBN 0412786605. （原始内容存档于2021-06-15）.
17. Phillips, D. L. A Technique for the Numerical Solution of Certain Integral Equations of the First Kind. Journal of the ACM. 1962, 9: 84–97. S2CID 35368397. doi:10.1145/321105.321114.
18. Hoerl, Arthur E. Application of Ridge Analysis to Regression Problems. Chemical Engineering Progress. 1962, 58 (3): 54–59.
19. Foster, M. An Application of the Wiener-Kolmogorov Smoothing Theory to Matrix Inversion. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. 1961, 9 (3): 387–392. doi:10.1137/0109031.
20. Hoerl, A. E.; R. W. Kennard. Ridge regression: Biased estimation for nonorthogonal problems. Technometrics. 1970, 12 (1): 55–67. doi:10.1080/00401706.1970.10488634.
21. Ng, Andrew Y. Feature selection, L1 vs. L2 regularization, and rotational invariance (PDF). Proc. ICML. 2004 [2023-09-24]. （原始内容存档 (PDF)于2023-03-15）.
22. R.-E. Fan; K.-W. Chang; C.-J. Hsieh; X.-R. Wang; C.-J. Lin. LIBLINEAR: A library for large linear classification. Journal of Machine Learning Research. 2008, 9: 1871–1874.
23. Guan, Naiyang; Tao, Dacheng; Luo, Zhigang; Yuan, Bo. Online nonnegative matrix factorization with robust stochastic approximation. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems. 2012, 23 (7): 1087–1099. PMID 24807135. S2CID 8755408. doi:10.1109/TNNLS.2012.2197827.
24. Lavrentiev, M. M. Some Improperly Posed Problems of Mathematical Physics. New York: Springer. 1967.
25. Hansen, Per Christian. Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems: Numerical Aspects of Linear Inversion 1st. Philadelphia, USA: SIAM. Jan 1, 1998. ISBN 9780898714036.
26. P. C. Hansen, "The L-curve and its use in the numerical treatment of inverse problems", [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
27. Wahba, G. Spline Models for Observational Data. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics (Society for Industrial and Applied Mathematics). 1990. Bibcode:1990smod.conf.....W.
28. Golub, G.; Heath, M.; Wahba, G. Generalized cross-validation as a method for choosing a good ridge parameter (PDF). Technometrics. 1979, 21 (2): 215–223 [2023-09-24]. doi:10.1080/00401706.1979.10489751. （原始内容存档 (PDF)于2017-12-15）.
29. Tarantola, Albert. Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation 1st. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). 2005 [2018-08-09]. ISBN 0898717922. （原始内容存档于2021-02-25）.
30. Greenberg, Edward; Webster, Charles E., Jr. Advanced Econometrics : A Bridge to the Literature. New York: John Wiley & Sons. 1983: 207–213. ISBN 0-471-09077-8.
31. Vogel, Curtis R. Computational methods for inverse problems. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 2002. ISBN 0-89871-550-4.
32. Amemiya, Takeshi. Advanced Econometrics. Harvard University Press. 1985: 60–61. ISBN 0-674-00560-0. 含有内容需登入查看的页面 (link)

阅读更多

• Gruber, Marvin. Improving Efficiency by Shrinkage: The James–Stein and Ridge Regression Estimators. Boca Raton: CRC Press. 1998 [2023-09-24]. ISBN 0-8247-0156-9. （原始内容存档于2022-10-17）.
• Kress, Rainer. Tikhonov Regularization. Numerical Analysis. New York: Springer. 1998: 86–90 [2023-09-24]. ISBN 0-387-98408-9. （原始内容存档于2022-10-17）.
• Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. Section 19.5. Linear Regularization Methods. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd. New York: Cambridge University Press. 2007 [2023-09-24]. ISBN 978-0-521-88068-8. （原始内容存档于2011-08-11）.
• Saleh, A. K. Md. Ehsanes; Arashi, Mohammad; Kibria, B. M. Golam. Theory of Ridge Regression Estimation with Applications. New York: John Wiley & Sons. 2019 [2023-09-24]. ISBN 978-1-118-64461-4. （原始内容存档于2022-10-21）.
• Taddy, Matt. Regularization. Business Data Science: Combining Machine Learning and Economics to Optimize, Automate, and Accelerate Business Decisions. New York: McGraw-Hill. 2019: 69–104 [2023-09-24]. ISBN 978-1-260-45277-8. （原始内容存档于2022-10-17）.