残差平方和

残差平方和（英语：Residual sum of squares，缩写：RSS）在统计学上是指将所有做预测时的误差值平方加起来得出的数：

${\displaystyle RSS=\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{2}\,}$

它是衡量数据与估计模型之间差异的尺度。较小的残差平方和表示模型能良好地拟合数据。在确定参数和选择模型时，残差平方和是一种最优性准则。通常，总的方差=已经被模型解释了的平方和+残差平方和。

残差平方和这个数值在机器学习上是普通最小二乘法等算法的重心。

与皮尔逊相关系数的关系

对于两变量x和y, 它们的数据组的均值分别记为${\displaystyle {\bar {x}},{\bar {y}}}$，则两数据组的皮尔逊相关系数为 ${\displaystyle r={\frac {S_{xy}}{\sqrt {S_{xx}S_{yy}}}}}$，其中， ${\displaystyle S_{xy}=\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}-x_{i})({\bar {y}}-y_{i})}$；${\displaystyle S_{xx}=\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}-x_{i})^{2}}$； ${\displaystyle S_{yy}=\sum _{i=1}^{n}({\bar {y}}-y_{i})^{2}}$.

给定最小二乘回归线方程为 ${\displaystyle {\hat {y}}=ax+b=f(x)}$, 其中 ${\displaystyle b={\bar {y}}-a{\bar {x}}}$ ; ${\displaystyle a={\frac {S_{xy}}{S_{xx}}}}$. 则这时残差平方和可以表示为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {RSS} &=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-f(x_{i}))^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-(ax_{i}+b))^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-ax_{i}-{\bar {y}}+a{\bar {x}})^{2}\\[5pt]&=\sum _{i=1}^{n}(a({\bar {x}}-x_{i})-({\bar {y}}-y_{i}))^{2}=a^{2}S_{xx}-2aS_{xy}+S_{yy}=S_{yy}-aS_{xy}=S_{yy}\left(1-{\frac {S_{xy}^{2}}{S_{xx}S_{yy}}}\right)\end{aligned}}}$

通过皮尔逊相关系数的公式，可以得到 ${\displaystyle \operatorname {RSS} =S_{yy}(1-r^{2})}$.