笛卡儿积

“笛卡儿平方”重定向至此，关于范畴论中的笛卡儿方形，参见拉回 (范畴论)

在数学中，两个集合${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的笛卡儿积（英语：Cartesian product），又称直积，在集合论中表示为${\displaystyle \,X\times Y}$，是所有可能的有序对组成的集合，其中有序对的第一个对象是${\displaystyle \,X\,}$的成员，第二个对象是${\displaystyle \,Y\,}$的成员。

${\displaystyle X\times Y=\left\{\left(x,y\right)\mid x\in X\land y\in Y\right\}}$。

${\displaystyle A=\{x,y,z\}}$与${\displaystyle B=\{1,2,3\}}$的笛卡尔积

举个实例，如果集合${\displaystyle \,X\,}$是13个元素的点数集合${\displaystyle \left\{A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2\right\}}$，而集合${\displaystyle \,Y\,}$是4个元素的花色集合${\displaystyle \{}$♠, ♥, ♦, ♣${\displaystyle \}}$，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合${\displaystyle \{(A,}$♠${\displaystyle ),(K,}$♠${\displaystyle ),...,(2,}$♠${\displaystyle ),...,(A,}$♣${\displaystyle ),...,(3,}$♣${\displaystyle ),(2,}$♣${\displaystyle )\}}$。

笛卡儿积得名于笛卡儿，因为这概念是由他建立的解析几何引申出来。

笛卡儿积的性质

易见笛卡儿积满足下列性质：

• 对于任意集合${\displaystyle A}$，根据定义有${\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing }$
• 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
• 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即

${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}$

${\displaystyle (B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A)}$

${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}$

${\displaystyle (B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A)}$

${\displaystyle (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)}$

• 若一个集合${\displaystyle A}$包含有无限多的元素，那这个集合对自身的笛卡尔积${\displaystyle A\times A}$有和${\displaystyle A}$一样多的元素。

笛卡儿平方和n元乘积

集合${\displaystyle X}$的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积${\displaystyle X\times X}$。一个例子是二维平面${\displaystyle R\times R}$，（这里${\displaystyle R}$是实数集） - 它包含所有的点${\displaystyle (x,y)}$，这里的${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$是实数（参见笛卡儿坐标系）。

为了帮助枚举，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在${\displaystyle n}$个集合${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$上的n-元笛卡儿积:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}:=X_{1}\times \ldots \times X_{n}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{1}\in X_{1}\;\land \;\ldots \;\land \;x_{n}\in X_{n}\}}$。

实际上，它可以被等同为${\displaystyle \left(X_{1}\times ...\times X_{n-1}\right)\times X_{n}}$。它是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间${\displaystyle R\times R\times R}$，这里的${\displaystyle R}$同样是指实数集。

无穷乘积

有限个集合可以看成某个一对一的有限集合序列 ${\displaystyle x={\{x(i)\}}_{i=1}^{n}}$（因为序列是种以自然数系 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 为定义域的函数），而 ${\displaystyle x}$ 的值域恰好是预备要依序进行笛卡儿积的所有集合，换句话说：

${\displaystyle I_{x}=\{x(1),\,x(2),\,\dots ,\,x(n)\}}$

${\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}\,{\overset {x}{\cong }}\,I_{x}}$

这样的话，若有函数 ${\displaystyle f:I\to \bigcup I_{g}}$ 满足：

${\displaystyle (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]}$

那就等价于

${\displaystyle (f(1),\,f(2),\,\dots ,\,f(n))\in \prod _{i=1}^{n}x(i)}$

换句话说，函数 ${\displaystyle f}$ 可以看做 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x(i)}$ 里的一个n-元组，而这就是以下无穷乘积定义的直观动机：

定义 — 若 ${\displaystyle I}$ 是集合族 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 的指标集，换句话说有指标函数 ${\displaystyle x}$ 让二者等势：

${\displaystyle I\,{\overset {x}{\cong }}\,{\mathcal {X}}}$

那以下的函数族

${\displaystyle \prod _{x}{\mathcal {X}}:=\left\{f\,{\bigg |}\,\left(f:I\to \bigcup {\mathcal {X}}\right)\wedge (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]\right\}}$

被称为集合族 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 关于指标函数 ${\displaystyle x}$ 的无穷乘积。

更进一步的，若此时取一 ${\displaystyle j\in I}$ ，则以下定义的函数 ${\displaystyle \pi _{j}}$

${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{x}{\mathcal {X}}\to x(j)}$ ，${\displaystyle \left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X}}\right)[\pi _{j}(f)=f(j)]}$

被称为第 ${\displaystyle j}$ 投影映射。

在无限情况，一个令人熟悉的特例是，当索引集合是自然数集${\displaystyle \mathbb {N} ,}$的时候：这正是其中第i项对应于集合${\displaystyle X_{i}}$的所有无限序列的集合。再次，${\displaystyle \mathbb {R} }$提供了这样的一个例子：

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\omega }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots }$

是实数的无限序列的搜集，可视之为带有无限个构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子X_i都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。这样，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从I到X的所有函数的集合。

在别的情况，无限笛卡儿积就不那么直观了；尽管在高等数学中的应用有其价值。

“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”这一陈述等价于选择公理。

函数的笛卡儿积

如果${\displaystyle f}$是从${\displaystyle A}$到${\displaystyle B}$的函数，而${\displaystyle g}$是从${\displaystyle X}$到${\displaystyle Y}$的函数，则它们的笛卡儿积${\displaystyle f\times g}$是从${\displaystyle A\times X}$到${\displaystyle B\times Y}$的函数，带有

${\displaystyle (f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))}$

跟之前类似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情况。

参见

• 有序对
• 幂集公理
• 二元关系
• 笛卡儿
• 乘积拓扑
• 乘积 (范畴论)
• 拉回 (范畴论)

外部链接

• Cartesian Product at ProvenMath （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Hazewinkel, Michiel (编), Direct product, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4