等势

在数学领域中，两个集合是等势的（英语：equinumerous）意为它们之间存在一个双射。这种性质经常叫做等势性(equinumerosity)。英文中也会用术语 equipotent 或 equipollent 来表示等势。

定义

定义 — ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 是二集合，若 ${\displaystyle f}$ 满足

• ${\displaystyle (\forall a\in A)(\exists !b)\{(b\in B)\wedge [(a,\,b)\in f]\}}$ （${\displaystyle f}$ 是${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 间的函数）
• ${\displaystyle (\forall b\in B)(\exists a\in A)[(a,\,b)\in f]}$ （每个 ${\displaystyle b\in B}$ 都可以用 ${\displaystyle f}$ 的规则对到某 ${\displaystyle a\in A}$）
• ${\displaystyle (\forall a_{1}\in A)(\forall a_{2}\in A)(\forall b\in B)\{[(a_{1},\,b),\,(a_{2},\,b)\in f]\Rightarrow (a_{1}=a_{2})\}}$ （${\displaystyle a_{1},\,a_{2}\in A}$ 都对到 ${\displaystyle b\in B}$ 则两者相等 ）

此时用以下符号简记：

${\displaystyle A\,{\overset {f}{\cong }}\,B}$

更进一步的，可以定义：

${\displaystyle A\cong B:=(\exists f)\left[A\,{\overset {f}{\cong }}\,B\right]}$

并可简称为${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 是等势的。

${\displaystyle A\,{\overset {f}{\cong }}\,B}$ 直观上来说，就是任意 ${\displaystyle b\in B}$ 都可以透过函数 ${\displaystyle f}$ 的规则，被唯一的一个 ${\displaystyle a\in A}$ 对应。而所谓的等势，就是${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 间存在这样的一对一且不遗漏的对应关系。

范例

设${\displaystyle E=\left\{2n|n\in \mathbb {N} \right\}}$是全体偶数的集合，那么，它与自然数集${\displaystyle \mathbb {N} }$是等势的； 有理数${\displaystyle \mathbb {Q} }$与自然数${\displaystyle \mathbb {N} }$是等势的（所有有理数与自然数是“一样多”的）； 然而，无理数${\displaystyle \mathbb {R} -\mathbb {Q} }$与自然数${\displaystyle \mathbb {N} }$或有理数${\displaystyle \mathbb {Q} }$都不等势（无理数比有理数“个数多”）。

性质

• 两个有限集是等势的，当且仅当它们的元素个数相等。
• 等势可构成一个等价关系。

范畴论的等势

在集合范畴中，带有函数作为态射的所有集合的范畴，在两个集合之间的同构正好是一个双射，而两个集合正好是等势的，如果它们在这个范畴中是同构的。

参见

• 集合范畴
• 基数 (数学)
• 双射