毕氏数

毕氏数，又名商高数或勾股数（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合毕氏定理（毕式定理）“${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$”之中，${\displaystyle (a,b,c)}$的正整数解。而且，基于毕氏定理的逆定理，任何边长是毕氏数组的三角形都是直角三角形。

如果${\displaystyle (a,b,c)}$是毕氏数，它们的正整数倍数，也是毕氏数，即${\displaystyle (na,nb,nc)}$也是毕氏数。若果${\displaystyle (a,b,c)}$三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素毕氏数或本原毕氏数组。

找出素毕氏数

以下的方法可用来找出素毕氏数。设${\displaystyle m>n}$、${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$均是正整数，

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2}}$

${\displaystyle b=2mn}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$

若${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$是互质，而且${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$为一奇一偶，计算出来的${\displaystyle (a,b,c)}$就是素毕氏数。（若${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$都是奇数，${\displaystyle (a,b,c)}$就会全是偶数，不符合互质。）

所有素毕氏数可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素毕氏数。

例子

以下是小于 100 的素毕氏数：

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
3	4	5
5	12	13
7	24	25
8	15	17
9	40	41
11	60	61
12	35	37
13	84	85
16	63	65
20	21	29
28	45	53
33	56	65
36	77	85
39	80	89
48	55	73
65	72	97

有些毕氏数组可以有同一个最小的毕氏数。第一个例子是 20 ，它在以下两组毕氏数之中出现：${\displaystyle (20,21,29)}$与${\displaystyle (20,99,101)}$。

其中最先例子是5，它在以下两组毕氏数之中出现${\displaystyle (3,4,5)}$及${\displaystyle (5,12,13)}$。

在 15,386 组素毕氏数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的毕氏数组是：

${\displaystyle 1229779565176982820}$

${\displaystyle 1230126649417435981}$

${\displaystyle 1739416382736996181}$

与

${\displaystyle 1229779565176982820}$

${\displaystyle 378089444731722233953867379643788099}$

${\displaystyle 378089444731722233953867379643788101}$

试考虑它的素因数分解

${\displaystyle 1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47}$

它素因数的个数涉及不少素毕氏数。当然，数学上存在比它大的素毕氏数。

性质

对于本原毕氏数组${\displaystyle (a,b,c)}$，${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$，我们有

• ${\displaystyle a,b,c}$两两互素
• ${\displaystyle a,b}$其中一个是3的倍数
• ${\displaystyle a,b}$其中一个是4的倍数
• ${\displaystyle a,b,c}$其中一个是5的倍数

对于第二、三、四条性质的证明：

利用完全平方数${\displaystyle \equiv 0,1{\pmod {3}}}$ 若${\displaystyle a,b}$都不是3的倍数，则${\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 2{\pmod {3}}}$，导致${\displaystyle c^{2}\equiv 2{\pmod {3}}}$ 矛盾，所以${\displaystyle a,b}$一定有且只有一个数是3的倍数。

因为${\displaystyle (a,b,c)}$是本原毕氏数组，所以必有${\displaystyle a,b}$一奇一偶。不妨设${\displaystyle a}$为奇数，${\displaystyle b}$为偶数，这时候对${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$两边同时${\displaystyle {\bmod {8}}}$，则会得到${\displaystyle b^{2}\equiv 0{\pmod {8}}}$，故${\displaystyle 4\mid b}$，所以${\displaystyle a,b}$一定有且只有一个数是4的倍数。

利用完全平方数${\displaystyle \equiv 0,1,4{\pmod {5}}}$ 若${\displaystyle a,b,c}$都不是5的倍数，则${\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 0}$或${\displaystyle 2}$或${\displaystyle 3{\pmod {5}}}$，而${\displaystyle c^{2}\equiv 1}$ 或${\displaystyle 4{\pmod {5}}}$，矛盾，所以${\displaystyle a,b,c}$一定有且只有一个数是5的倍数。

证毕。

找寻毕氏数的小技巧

若需要一组最小数为奇数的毕氏数，可任意选取一个 3 或以上的奇数，将该数自乘为平方数，除以 2，答案加减 0.5 可得到两个新的数字，这两个数字连同一开始选取的奇数，三者必定形成一组毕氏数^[1]。但却不一定是以这个选取数字为起首毕氏数的最小可能或唯一可能，例如${\displaystyle (27,364,365)}$并非是以 27 为起首的唯一毕氏数，因为存在另一个毕氏数是${\displaystyle (27,36,45)}$，同样也以 27 为首。

对于任何大于1的整数${\displaystyle x}$，${\displaystyle x^{2}+1}$、${\displaystyle x^{2}-1}$与${\displaystyle 2x}$，三个数必为毕氏数^[1]，例如：代入${\displaystyle x}$为2，则${\displaystyle x^{2}+1}$为5，${\displaystyle x^{2}-1}$为3，${\displaystyle 2x}$为4，${\displaystyle (3,4,5)}$为一组毕氏数。

推广

费马最后定理指出，若${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$，而${\displaystyle n}$是大于 2 的整数，${\displaystyle (a,b,c)}$即没有正整数解。

参见

• 毕氏定理
• 费马最后定理
• 特殊直角三角形#常见的毕氏数

外部链接

• 谈费玛最后定理第 2 页
• 毕氏定理
• Javascript 计算器，用以计算 (${\displaystyle m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2}}$) 公式，以及如何推论此公式。
• 120 三元数组 (doc)

1. 宋蕙君; 陈柏扬; 谢明君. 〈哇!這是什麼 5，4，3 啊!〉 (PDF). 桃园县立大竹国民中学. 中华民国第四十八届中小学科学展览会. 2008年. （原始内容 (PDF)存档于2022-10-12）.