林納德–奇帕特判據

在控制系統理論中，林納德–奇帕特判據（英語：Liénard–Chipart criterion）是一個由勞斯–赫爾維茨穩定性判據修改而來的穩定性判據，由A. Liénard和M. H. Chipart提出。^[1] 這個判據比勞斯–赫爾維茨穩定性判據的優勢在於它只涉及一半數量的行列式運算。^[2]

算法

回顧勞斯–赫爾維茨穩定性判據，實係數多項式

${\displaystyle f(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}\,(a_{0}>0)}$

的所有根都有負實部的（即 ${\displaystyle f}$ 是赫爾維茨穩定的）充分必要條件為：

${\displaystyle \Delta _{1}>0,\,\Delta _{2}>0,\ldots ,\Delta _{n}>0,}$

其中 ${\displaystyle \Delta _{i}}$ 為與 ${\displaystyle f}$ 相關的赫爾維茨矩陣的第 i 個主子式。

使用上面的符號。勞斯–赫爾維茨判據為：若且唯若這四種情況中的任意一種滿足時，${\displaystyle f}$ 才是赫爾維茨穩定的：

1. ${\displaystyle a_{n}>0,a_{n-2}>0,\ldots ;\,\Delta _{1}>0,\Delta _{3}>0,\ldots }$
2. ${\displaystyle a_{n}>0,a_{n-2}>0,\ldots ;\,\Delta _{2}>0,\Delta _{4}>0,\ldots }$
3. ${\displaystyle a_{n}>0,a_{n-1}>0,a_{n-3}>0,\ldots ;\,\Delta _{1}>0,\Delta _{3}>0,\ldots }$
4. ${\displaystyle a_{n}>0,a_{n-1}>0,a_{n-3}>0,\ldots ;\,\Delta _{2}>0,\Delta _{4}>0,\ldots }$

此後可以發現，通過選擇這些條件的其中之一，需要計算的行列式數目減少了。

參考文獻

1. Liénard, A.; Chipart, M. H. Sur le signe de la partie réelle des racines d’une équation algébrique. J. Math. Pures Appl. 1914, 10 (6): 291–346.
2. Feliks R. Gantmacher. The Theory of Matrices. American Mathematical Society. 2000: 221–225. ISBN 0-8218-2664-6.

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Liénard–Chipart criterion, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4