駐波

駐波（英語：standing wave或stationary wave）為兩個波長、週期、頻率和波速皆相同的正弦波相向行進干涉而成的合成波。與行波不同，駐波的波形無法前進，因此無法傳播能量，故名之。

駐波

駐波通過時，每一個質點皆作簡諧運動。各質點振盪的幅度不相等，振幅為零的點稱為節點或波節（英語：Node），振幅最大的點位於兩節點之間，稱為腹點或波腹（英語：Antinode）。^[1]由於節點靜止不動，所以波形沒有傳播。能量以動能和勢能的形式交換儲存，亦傳播不出去。兩列傳播方向相反的相干波相遇而產生干涉，或介質沿波速的相反方向運動時，均可產生這個現象。常見的駐波現象是諧振器中，一列波與自身的反射波產生干涉而形成的。^[2]

1860年，弗朗茲·麥爾德（英語：Franz Melde）首次發現，並創造了「駐波」（德語：stehende Welle或Stehwelle）一詞。^[3][4][5][6]

兩列反向傳遞的波

駐波

介質中的駐波。紅點代表波節。(點擊放大) 駐波（黑線）是兩列反向傳播的波（紅線和藍線）的疊加。(點擊放大)

電場（E）與磁場（H）的駐波。 弦線中的駐波：基音和第一至五泛音。(點擊放大)

二維駐波。(點擊放大) 圓盤上兩節線的交叉處中心的高次諧波駐波。(點擊放大)

行波在障礙處反射形成駐波

同一介質中，兩列傳播方向相反，而振幅、頻率都相同的波相遇時，即形成駐波。其結果是在一系列固定的位置產生波腹（即振動加強點）和波節（即振動減弱點）。一列波與自身的反射波很容易形成駐波。^[7]

實際情況中，振盪過程中的損耗和其他導致能量損失的因素使得完美的駐波很難實現。其結果是形成駐波和行波的疊加。這種波中純駐波和純行波的比例可以用駐波比(SWR)來描述。^[8]

數學描述

沿相反方向傳播的波可以用以下方程表示：

${\displaystyle y_{1}\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\,}$

以及

${\displaystyle y_{2}\;=\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t)\,}$

其中

• ${\displaystyle y_{0}}$ 為波的振幅；
• ${\displaystyle \omega }$ 為角頻率，${\displaystyle \omega =2\pi f}$；
• ${\displaystyle k}$ 為波數，${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$；
• ${\displaystyle x}$和${\displaystyle t}$是分別代表坐標和時間的變量。

兩列波疊加後的結果為：

${\displaystyle y\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).\,}$

簡化後得到：

${\displaystyle y\;=\;2\,y_{0}\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).\,}$

由以上方程可知，在坐標為${\displaystyle 0}$、${\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}}$、${\displaystyle \lambda }$、${\displaystyle {\frac {3\lambda }{2}}}$、……的位置，振幅始終為0，即為波節。在${\displaystyle {\frac {\lambda }{4}}}$、${\displaystyle {\frac {3\lambda }{4}}}$、${\displaystyle {\frac {5\lambda }{4}}}$……處，振幅最大，即為波腹。最近的波節和波腹之間相距${\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}}$。

在二維或三維的振動體系中，亦可以產生駐波。在二維面上的駐波中，固定的波節變為波節線，將振動相位相反的區域隔開（如上圖動畫）。這種由波節線組成的圖形稱為克拉尼圖形。

對於兩端固定的弦線，求解其上的橫振動相當於求解波動方程

${\displaystyle [{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}]u(x,t)=0}$

在給定邊界條件

${\displaystyle u(0,t)=u(l,t)=0}$

和適當初始條件下的解。通過分離變量法可以將此初值問題轉化為本徵值問題，並求得不同本徵值對應的特解：

${\displaystyle u_{n}(x,t)=\sin(n\pi x/l)(A_{n}\sin(n\pi vt/l)+B_{n}\cos(n\pi vt/l))}$

每個特解都對應弦線上以兩個端點為波節的一列駐波，對應的波長和頻率分別為：

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {2l}{n}}}$

${\displaystyle \omega _{n}={\frac {nv}{2l}}}$

即弦線長度為半波長的整數倍。其中最小的本徵值對應波長最長，頻率最低的振動，該頻率被稱為基頻。其餘的振動頻率都是基頻的整數倍，在音樂中這些振動被稱為泛音。

例子

機械波

皮划艇運動員在水波的駐波中。拍攝於美國大瀑布國家公園。

通過諧振，駐波很容易在固體介質中產生。當兩個人各持繩子的一端，同步上下搖動時，繩子會形成固定的駐波圖樣。相似的情況還有當一端固定懸臂樑受到一定頻率的激發時，也能產生駐波，這時懸臂的自由端的振幅最大。這樣的設備可以用來追蹤物體自然頻率或相位的變化。這一特點亦可用於長度的測量。^[9][10]

土星北極特徵性的六邊形雲層最初被認為是羅斯貝波的駐波^[11]。這種說法最近被提出質疑。^[12]

駐波也常在弦線和空氣柱這樣的介質中被觀測到。沿介質傳播的波遇到障礙後會反射，並於自身產生干涉，形成駐波。樂器中這一現象極為常見。聲音頻率是弦線或空氣中的自然頻率的倍數時，產生駐波，諧波的頻率也就因此得以確定。波節在固定端，波腹在開放的自由端。

光

在光的傳播中，也能觀察到駐波。在共振腔等器材中，駐波常常發生。激光共振腔的一種——法布里－珀羅干涉儀使用兩個平行的平面反射鏡使激光產生共振。共振腔中的增益介質將光連續射出，在共振腔內部激發出駐波。使用光學測平器（英語：Optical_flat），就是利用光的駐波來測量微小的距離。

X射線之間的干涉可以形成X射線駐波場（英語：X-Ray Standing Wave field）^[13]。由於X射線波長為0.1納米至10納米，處於原子尺度，因此可以利用X射線的駐波來測量這一尺度下的長度。X射線駐波在X射線與由近乎完美的單晶表面繞射而來或X射線反射面反射而來的射線發生干涉的區域產生。通過調整晶體幾何或X射線波長，X射線駐波可以在空間中傳播。這一效應可運用於X射線熒光光譜儀中，將原子的內層電子打出。X射線駐波法也被用在查明半導體中原子摻雜的具體情況^[14]，原子和分子的表面吸附情況^[15]，以及催化作用中的化學變化^[16]。

地震波

淺源地震引起的表面波以地球的自由振盪的形式被觀測到。

法拉第波

法拉第波是在氣液分界面上，由於流體不穩定性產生的一種非線性駐波，可用於液基微小物體聚集器。^[17]

參見

• 波
• 行波
• 干涉

參考文獻

1. 趙凱華，羅蔚茵. 新概念物理教程. 力学 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2004年7月: 287. ISBN 978-7-04-015201-2.
2. How does energy get transferred if traveling waves are superpositions of standing waves?. Quora. [2016-08-02].
3. Melde, Franz. Ueber einige krumme Flächen, welche von Ebenen, parallel einer bestimmten Ebene, durchschnitten, als Durchschnittsfigur einen Kegelschnitt liefern: Inaugural-Dissertation... Koch, 1859.
4. Melde, Franz. "Ueber die Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers." Annalen der Physik 185, no. 2 (1860): 193-215.
5. Melde, Franz. Die Lehre von den Schwingungscurven...: mit einem Atlas von 11 Tafeln in Steindruck. JA Barth, 1864.
6. Melde, Franz. "Akustische Experimentaluntersuchungen." Annalen der Physik 257, no. 3 (1884): 452-470.
7.  本條目引用的公有領域材料來自General Services Administration的文檔《Federal Standard 1037C》。
8. Blackstock, David T., Fundamentals of Physical Acoustics, Wiley–IEEE, 2000, ISBN 0-471-31979-1, 568 pages. See page 141.
9. M.B. Bauza; R.J Hocken; S.T Smith; S.C Woody, The development of a virtual probe tip with application to high aspect ratio microscale features, Rev. Sci Instrum, 76 (9) 095112, 2005 .
10. 存档副本. [2022-07-30]. （原始內容存檔於2016-07-31）. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
11. A Wave Dynamical Interpretation of Saturn's Polar Region 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2011-10-21., M. Allison, D. A. Godfrey, R. F. Beebe, Science vol. 247, pg. 1061 (1990)
12. A laboratory model of Saturn’s North Polar Hexagon, A. C. Barbosa Aguiar, P. L. Read, R. D. Wordsworth, T. Salter, Y. H. Yamazaki, Icarus, vol. 206 (2009)
13. B.W. Batterman; H. Cole (1964), Dynamical Diffraction of X Rays by Perfect Crystals, Rev. Mod. Phys., 36 681
14. B.W. Batterman, Detection of Foreign Atom Sites by Their X-Ray Fluorescence Scattering, Phys. Rev. Lett., 22 703
15. J.A. Golovchenko; J.R. Patel; D.R. Kaplan; P.L. Cowan; M.J. Bedzyk (1982), Solution to the Surface Registration Problem Using X-Ray Standing Waves, Phys. Rev. Lett., 49 560
16. Z. Feng; C.-Y. Kim; J.W. Elam; Q. Ma; Z. Zhang; M.J. Bedzyk (2009), Direct Atomic-Scale Observation of Redox-Induced Cation Dynamics in an Oxide-Supported Monolayer Catalyst: WO_x/α-Fe₂O₃(0001), J. Am. Chem. Soc., 131 18200-18201 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
17. P. Chen, Z. Luo, S. Guven, S. Tasoglu, A. Weng, A. V. Ganesan, U. Demirci, Advanced Materials 2014, 10.1002/adma.201402079. http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/adma.201402079/abstract （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

外部連結

• 調校頻率觀察如何在弦上產生駐波的Java 模擬 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Simulation of standing waves in a room using WebGL （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Java applet of standing waves on a vibrating string （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Java applet of transverse standing wave （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Java applet showing the production of standing wave on a string by adjusting frequency （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Web Application for drawing standing wave diagrams including the reflection coefficient, input impedance, SWR, etc. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）