莫德爾猜想(Mordell conjecture),又稱法爾廷斯定理(Faltings's theorem),是一個由路易·莫德爾提出的算術幾何猜想,這猜想認為,任何有理數域上虧格數大於一的曲線至多只有有限多個有理點。這猜想於1983年為格爾德·法爾廷斯所證明,並從此改名為法爾廷斯定理,而之後這猜想被推廣至任何代數數域上。
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法爾廷斯定理![Thumb](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Gerd_Faltings_MFO.jpg/220px-Gerd_Faltings_MFO.jpg) 格爾德·法爾廷斯 |
領域 | 算術幾何 |
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猜想提出者 | 路易·莫德爾 |
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猜想提出年 | 1922 |
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最初證明者 | 格爾德·法爾廷斯 |
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最初證明年 | 1983 |
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推廣 | 邦別里-朗猜想 莫德爾-朗猜想 |
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可得結果 | 西葛爾的整數點定理 |
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設C為一個非特異的、位於有理數域上且虧格數為g的代數曲線,則C上的有理點可由下列關係決定:
- 當g = 0時,C要不沒有有理點,要不有無限多的有理點,此情況下C可視為圓錐曲線。
- 當g = 1時,C沒有有理點,或者為一個有理點構成有限生成阿貝爾群的橢圓曲線(此即莫德爾定理,之後被推廣為莫德爾-韋伊定理);此外,馬祖爾撓定理對相關的撓子群的結構做出限制。
- 當g > 1時,根據現在又稱法爾廷斯定理的莫德爾猜想,C只有有限多的有理點。
伊戈爾·沙法列維奇曾猜想說在一個固定的數域上有着固定的維度與極化度(polarization degree)、且在固定的位構成的有限集合之外有着良好簡化(Good reduction)的交換簇之上,只有有限個同構類,而這即是沙法列維奇的有限猜想。阿列克謝·帕辛使用現在稱為帕辛技巧的方法,指出說沙法列維奇的有限猜想可推出莫德爾猜想。
格爾德·法爾廷斯利用了泰特猜想一個情況已知的簡化,以及包括內倫模型等源自代數幾何的工具,證明了沙法列維奇的有限猜想。而這證明的主要想法,是利用西葛爾模簇來比較高度函數中的法爾廷斯高度及古典高度。[a]
- 保羅·波伊大給出一個基於丟番圖逼近的證明;之後恩里科·邦別里找到了波伊大的證明中一個更加初等的版本。
- 布萊恩·勞倫斯(Brian Lawrence)及阿克沙伊·文卡泰什給出一個基於p進數霍奇定理的證明,而這證明借鑿了法爾廷斯原始證明中一些較簡單的成分。
法爾廷斯在1983年的論文可推出一系列先前受猜想的內容:
- 莫德爾猜想,也就是在代數數域上虧格數大於1的曲線只有有限多個有理點;
- 同類定理(Isogeny theorem),也就是帶有同構泰特模(也就是帶有伽羅瓦作用的Qℓ-模)的交換簇是同類的。
法爾廷斯定裏的一個應用是費馬最後定理的弱形式:對於任意大於等於4的固定整數n,an + bn = cn至多只有有限的原始整數解(也就是彼此互質的解),而這是因為對於這樣的n而言,費馬曲線 xn + yn = 1的虧格數大於1之故。
由於莫德爾-韋伊定理之故,因此法爾廷斯定理可重述為一個關於帶有交換簇A的有限生成子群Γ的曲線C的交點的敘述,因此可透過將其中交換簇A改成半交換簇(semiabelian variety)、將C改成A的任意子簇,以及將Γ改成A的任意有限秩子集的作法,將之推廣為莫德爾-朗猜想,而這猜想由麥克·麥奎蘭在洛朗(Laurent)、雷諾、辛追(Hindry)、波伊大以及法爾廷斯等人成就的基礎上,於1995年所證明。
法爾廷斯定理的另一個高維推廣是邦別里-朗猜想,也就是若X是一個在數域k上的偽典型簇(也就是「一般類型」的代數簇),那麼X(k)在扎里斯基拓撲的意義上並非稠密的。保羅·波伊大並提出了更加一般化的猜想。
函數域上的莫德爾猜想由尤里·馬寧以及漢斯·格勞爾特所證明,在1990年,羅伯特·F·科爾曼找到並修補了馬寧證明中的一個漏洞。
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