累積量

在概率論和統計學中，一個概率分佈的累積量κ_n(英語：Cumulant)是指一系列能夠提供和矩一樣的資訊的量。累積量和隨機變量的矩密切相關。如果兩個隨機變量的各階矩都一樣，那麼它們的累積量也都一樣，反之亦然。

對於隨機變量${\displaystyle X}$而言，一階累積量等於期望值${\displaystyle E(x)}$，二階累積量等於方差${\displaystyle V(x)}$，三階累積量等於三階主動差${\displaystyle S(x)}$，但是四階以及更高階的累積量與同階的主動差並不相等。在某些理論推導中，使用累積量更加方便。特別是當兩個或者更多的隨機變量相互獨立時，它們的 ${\displaystyle n}$階累積量的和等於它們和的${\displaystyle n}$階累積量。另外，服從正態分佈的隨機變量的三階及以上的累積量為${\displaystyle 0}$。

定義

一個隨機變量${\displaystyle X}$的${\displaystyle n}$階累積量${\displaystyle \kappa _{n}}$可以用累積生成函數來定義

${\displaystyle K(t)=\log \mathbb {E} e^{tX}=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=:g(t).}$

從上面的觀察可知，累積量可以通過對生成函數${\displaystyle g(t)}$（在0處）進行求導得到。也就是說，累積量是${\displaystyle g(t)}$的麥克勞林級數的係數。

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=g'(0)=\mu '_{1}=\mu ,\\\kappa _{2}&=g''(0)=\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}=\sigma ^{2},\\&{}\ \ \vdots \\\kappa _{n}&=g^{(n)}(0),\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

如果使用${\displaystyle X}$（沒有中心化）的${\displaystyle n}$階矩${\displaystyle \mu _{n}^{\prime }=\mathbb {E} (X^{n})}$和矩生成函數則可以定義：

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{tX})=1+\sum _{m=1}^{\infty }\mu '_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}=e^{g(t)}.}$

使用形式冪級數定義的對數函數：

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=\log(\operatorname {E} (e^{tX}))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left(1-\operatorname {E} (e^{tX})\right)^{n}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left(-\sum _{m=1}^{\infty }\mu '_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right)^{n}\\&=\mu '_{1}t+\left(\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}\right){\frac {t^{2}}{2!}}+\left(\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1}+2{\mu '_{1}}^{3}\right){\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots .\end{aligned}}}$

隨機變量的累積量和隨機變量的矩密切相關。比如說，隨機變量X有期望值${\displaystyle \scriptstyle \mu =\mathbb {E} (X)}$和方差 ${\displaystyle \scriptstyle \sigma ^{2}=\mathbb {E} \left(|X-\mu |^{2}\right)}$ ，那麼它們也是前兩階的累積量： ${\displaystyle \scriptstyle \mu =\kappa _{1},\,\sigma ^{2}=\kappa _{2}}$。

要注意有時候${\displaystyle n}$階矩會用角括號來表示：${\displaystyle \mu '_{n}=\operatorname {E} (X^{n})=\langle X^{n}\rangle \,}$，累積量則用下標${\displaystyle c}$的角括號表示：${\displaystyle \kappa _{n}=\langle X^{n}\rangle _{c}.\,}$。

如果隨機變量的矩生成函數不存在，那麼可以通過後面對於累積量與矩之間的關係的討論定義累積量。

有些作者^[1][2]偏向於定義累積生成函數為隨機變量的特徵函數誘導的自然對數。這種定義下的累積生成函數也被稱為隨機變量的第二類特徵函數^[3][4]。

${\displaystyle h(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\log(\operatorname {E} (e^{itX}))=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .\,}$

統計數學中的應用

使用累積量的一個優勢是它對應的生成函數是加性函數。比如說對兩個獨立的隨機變量${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$，

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{X+Y}(t)&=\log(\operatorname {E} (e^{t(X+Y)}))=\log(\operatorname {E} (e^{tX})\operatorname {E} (e^{tY}))\\&=\log(\operatorname {E} (e^{tX}))+\log(\operatorname {E} (e^{tY}))=g_{X}(t)+g_{Y}(t).\end{aligned}}}$

它們的和的累積量是各自的累積量的和。

一些具體概率分佈的累積量

• 常數${\displaystyle X=\mu }$的累積生成函數是 ${\displaystyle K(t)=\mu t}$。 一階累積量是${\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=\mu }$,其他階的累積量均為0， ${\displaystyle \kappa _{2}=\kappa _{3}=\kappa _{4}=...=0}$。
• 服從伯努利分佈的隨機變量的累積生成函數是 ${\displaystyle K(t)=log(1-p+pe^{t})}$。一階累積量是${\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=p}$，二階累積量是${\displaystyle \kappa _{2}=K''(0)=p(1-p)}$,累積量滿足遞推公式

${\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.}$

• 服從幾何分佈的隨機變量的累積生成函數是${\displaystyle K(t)=log({\frac {p}{1+(p-1)e^{t}}})}$。 一階累積量是${\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=p^{-1}-1}$，二階累積量是${\displaystyle \kappa _{2}=K''(0)=\kappa _{1}p^{-1}}$。
• 服從泊松分佈的隨機變量的累積生成函數是${\displaystyle K(t)=\mu {e^{t}-1}}$。所有的累積量均等於參數${\displaystyle \mu }$: ${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=\kappa _{3}=...=\kappa _{n}=\mu }$。
• 服從二項分佈的隨機變量的累積生成函數是${\displaystyle K(t)=nlog(1-p+pe^{t})}$。 一階累積量是${\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=np}$，二階累積量是${\displaystyle \kappa _{2}=K''(0)=\kappa _{1}(1-p)}$。
• 服從負二項分佈的隨機變量的累積生成函數的導數是${\displaystyle K'(t)={\frac {n}{{\frac {1}{(1-p)e^{t}}}-1}}}$。一階累積量是${\displaystyle \kappa _{1}=K'(0)=n({\frac {1}{p}}-1)}$，二階累積量是${\displaystyle \kappa _{2}=K''(0)=\kappa _{1}p^{-1}}$。

相關條目

• 累積量生成函數