符號積分

微積分學中，符號積分指找到給定函數f(x)的積分，即找到可微函數F(x)使

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f(x).}$

也可以表示為

${\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx.}$

討論

「符號」問題異於數值問題，後者求給定輸入時的F，而非求F的一般公式。

早在數字計算機出現之前，人們就認為這兩個問題都具有重要意義，但現在則一般認為屬於計算機科學範疇，因為計算機目前最常用於求解個別特例。

求表達式的微分很簡單，很容易構建算法；求積分則困難得多。許多相對簡單的表達式的積分無法表示為解析解。參見不定積分與非初等積分。

有一種稱為Risch算法的程序，能確定初等函數（由有限多指數、對數、常數、方根通過有限次複合、4種初等運算組成）的積分是否初等，如果是，則可以返回待求積分。Risch算法的最初形式並不適合直接實現，其完整運算需要很長時間。它最早是在ruduce中實現了純超越函數，James H. Davenport在reduce中解決了純代數函數，Manuel Bronstein解決了一般情況，並在Axiom中實現了幾乎全部算法。不過迄今為止，還沒有一種Risch算法程序能處理其中所有特例與分支。^[1][2]

然而Risch算法只能用於不定積分，而物理學家、理論化學家和工程師更關註定積分 ，通常與拉普拉斯變換、傅里葉變換與梅林變換有關。由於缺乏通用算法，計算機代數系統的開發人員採用了基於模式匹配和特殊函數（尤其是不完全Γ函數）的啟發式算法。^[3]雖然這種方法是啟發式，而非算法式，但仍是解決實際工程應用遇到的許多定積分的有效方法。諸如Macsyma的早起系統有些定積分與表中的特殊函數有關，但這種方法設計特殊函數及其參數的微分、變量變換、模式匹配及其他操作，由Maple開發者首創^[4]，後來被Mathematica、Axiom、MuPAD等系統效仿。

最新進展

符號積分經典方法的主要問題在於，如果函數以解析解形式給出，那麼其不定積分一般就沒有類似的表示形式。也就是說，可以用解析解表示的函數在積分時不閉包。

完整函數在不定積分時閉包，可在計算機中通過算法實現微積分的許多運算。

更確切地說，完整函數是具有多項式係數的同類線性微分方程。完整函數對加法與乘法、微分與積分封閉，其中包括代數函數、指數函數、對數、正弦和餘弦、反三角函數、反雙曲函數等，還包括最常見的特殊函數，如艾里函數、誤差函數、貝索函數及所有超幾何函數。 完整函數由一個基本性質：其泰勒級數在任一點的係數都滿足多項式係數線性遞推關係式，這遞推可從定義函數的微分方程計算得到。反之，給定冪級數係數之間的這種地推關係，也就定義了一個完整函數，其微分方程有算法計算。通過地推關係可以快速算出泰勒級數，從而計算出任一點的函數值，且誤差極小。

這使得微積分學中的大多數運算在完整函數上都可以用微分方程及初始條件來表示，其中就包括積分，以及函數在無窮遠處的極限、在無界區域上的定積分等等。

所有這些操作都可用Maple的algolib庫實現。^[5]另見《Dynamic Dictionary of Mathematical functions》。^[6]

例子

例如：

${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}+C}$

是不定積分的符號結果（C是積分常數），

${\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-1}^{1}={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {(-1)^{3}}{3}}={\frac {2}{3}}}$

是定積分的符號結果，而

${\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx\approx 0.6667}$

是同一定積分的數值結果。

另見

• 數學主題

• 積分——計算操作
• 初等函數
• 不定積分
• 積分表——維基媒體列表條目
• 運算微積分
• Risch算法
• 計算機代數
• Meijer G-函數

參考文獻

1. Bronstein, Manuel. Manuel Bronstein on Axiom's Integration Capabilities. groups.google.com. 2003-09-05 [2023-02-10]. （原始內容存檔於2023-02-10）.
2. integration - Does there exist a complete implementation of the Risch algorithm?. MathOverflow. 2020-10-15 [2023-02-10]. （原始內容存檔於2023-08-21） （英語）.
3. K.O Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149–165, [1]
4. K.O. Geddes and T.C. Scott, Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and Logarithms, Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (held at MIT June 12, 1989), edited by E. Kaltofen and S.M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192–201. [2]
5. http://algo.inria.fr/libraries/ （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） algolib
6. http://ddmf.msr-inria.inria.fr （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Dynamic Dictionary of Mathematical functions

• Bronstein, Manuel, Symbolic Integration 1 (transcendental functions) 2, Springer-Verlag, 1997, ISBN 3-540-60521-5
• Moses, Joel, Symbolic integration: the stormy decade, Proceedings of the Second ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation (Los Angeles, California), March 23–25, 1971: 427–440

外部連結

• Bhatt, Bhuvanesh. Risch Algorithm. MathWorld.
• Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica